Чтобы решить данную задачу, начнем с анализа квадратного уравнения и условия, которое связано с его корнями.
Давайте рассмотрим квадратное уравнение:
[ x^2 - x + q = 0. ]
Согласно условию задачи, корни этого уравнения удовлетворяют следующему условию:
[ 3x_1 + 2x_2 = 0, ]
где ( x_1 ) и ( x_2 ) — это корни уравнения.
Шаг 1: Найдем сумму и произведение корней
По теореме Виета для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) сумма корней ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} ) и произведение корней ( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} ).
В нашем случае:
- ( a = 1 )
- ( b = -1 )
- ( c = q )
Таким образом, мы можем записать:
[
x_1 + x_2 = -\frac{-1}{1} = 1,
]
[
x_1 \cdot x_2 = \frac{q}{1} = q.
]
Шаг 2: Используем условие корней
Теперь у нас есть условие ( 3x_1 + 2x_2 = 0 ). Это можно переписать следующим образом:
[
3x_1 = -2x_2 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -\frac{2}{3}x_2.
]
Шаг 3: Подставим ( x_1 ) в сумму корней
Теперь выразим ( x_1 ) через ( x_2 ) и подставим в уравнение суммы корней:
[
-\frac{2}{3}x_2 + x_2 = 1.
]
Приведем подобные:
[
-\frac{2}{3}x_2 + \frac{3}{3}x_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{3}x_2 = 1.
]
Умножим обе стороны на 3:
[
x_2 = 3.
]
Теперь подставим ( x_2 ) назад, чтобы найти ( x_1 ):
[
x_1 = -\frac{2}{3} \cdot 3 = -2.
]
Шаг 4: Найдем значение ( q )
Теперь можем найти произведение корней ( x_1 \cdot x_2 ):
[
x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot 3 = -6.
]
Следовательно, ( q = -6 ).
Ответ
Таким образом, значение ( q ) равно:
[
\boxed{-6}.
]
