3) Длина стороны правильного треугольника, вписанного в окружность, равна 8 см. Найдите периметр квадрата, вписанного в ту же окружность.

Чтобы решить задачу, начнем с понимания правильного треугольника и его свойств, а также как они связаны с окружностью и квадратом, вписанным в ту же окружность.

Шаг 1: Найдем радиус окружности

Длина стороны правильного треугольника \( a = 8 \) см. Для правильного треугольника радиус окружности (R), вписанной в треугольник, можно найти по формуле:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Подставим значение \( a \):

\[ R = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx \frac{8 \cdot \sqrt{3}}{3} \approx 4.62 \text{ см} \]

Шаг 2: Найдем сторону квадрата, вписанного в окружность

Квадрат, вписанный в окружность, имеет диагональ равную диаметру окружности. Диаметр \( D \) равен \( 2R \):

\[ D = 2R = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} \text{ см} \]

Сторона квадрата \( s \) и его диагональ связаны следующим образом:

\[ D = s\sqrt{2} \]

Отсюда можем выразить сторону квадрата:

\[ s = \frac{D}{\sqrt{2}} = \frac{16/\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{6}} = \frac{16 \cdot \sqrt{6}}{6} \approx 6.53 \text{ см} \]

Шаг 3: Найдем периметр квадрата

Периметр квадрата \( P \) вычисляется по формуле:

\[ P = 4s \]

Подставим значение стороны квадрата:

\[ P = 4 \cdot \frac{16 \cdot \sqrt{6}}{6} = \frac{64 \cdot \sqrt{6}}{6} \approx 26.29 \text{ см} \]

Ответ

Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен approximately \( 26.29 \) см.