4х³ - 8х² - х + 2 = 0

Чтобы решить уравнение \( 4x^3 - 8x^2 - x + 2 = 0 \), давайте разберем его пошагово.

Шаг 1: Положение уравнения

У нас есть кубическое уравнение, которое имеет вид \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \), где:

• \( a = 4 \)
• \( b = -8 \)
• \( c = -1 \)
• \( d = 2 \)

Шаг 2: Поиск рационального корня

Для поиска рационных корней можно использовать теорему о делителях свободного члена (в данном случае 2) и коэффициента при старшем члене (в данном случае 4). Рациональные корни могут быть делителями 2, деленными на делители 4.

Делители 2: \( \pm 1, \pm 2 \)
Делители 4: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \)

Таким образом, возможные рациональные корни: \[ \pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4} \]

Шаг 3: Проверка возможных корней

Подставим \( x = 1 \): \[ 4(1)^3 - 8(1)^2 - (1) + 2 = 4 - 8 - 1 + 2 = -3 \quad \text{(не корень)} \]

Подставим \( x = -1 \): \[ 4(-1)^3 - 8(-1)^2 - (-1) + 2 = -4 - 8 + 1 + 2 = -9 \quad \text{(не корень)} \]

Подставим \( x = 2 \): \[ 4(2)^3 - 8(2)^2 - (2) + 2 = 32 - 32 - 2 + 2 = 0 \quad \text{(корень)} \]

Шаг 4: Деление мног项ника

Поскольку \( x = 2 \) является корнем, можно использовать деление мног项ника, чтобы разложить наш кубик.

Разделим \( 4x^3 - 8x^2 - x + 2 \) на \( x - 2 \) с помощью схемы Горнера.

Схема Горнера:

1. Коэффициенты: \( 4, -8, -1, 2 \)
2. Мы берем 2 как корень.

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 4 & -8 & -1 & 2 \\ & & 8 & 0 & -2 \\ \hline & 4 & 0 & -1 & 0 \\ \end{array} \]

Результат деления: \( 4x^2 - 1 \)

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение: \[ 4x^2 - 1 = 0 \]

Переносим 1: \[ 4x^2 = 1 \] Делим на 4: \[ x^2 = \frac{1}{4} \] Извлекаем корень: \[ x = \pm \frac{1}{2} \]

Шаг 6: Полный набор корней уравнения

Теперь у нас есть все корни уравнения:

1. \( x = 2 \)
2. \( x = \frac{1}{2} \)
3. \( x = -\frac{1}{2} \)

Ответ:

Корни уравнения \( 4x^3 - 8x^2 - x + 2 = 0 \) это: \[ x = 2, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = -\frac{1}{2} \]

Если вам нужно больше объяснений по какому-либо из шагов, дайте знать!