Построить графики функций: 1) у = х² + 2х – 3 по алгоритму исследования и построения графика функции

Для построения графика функции \( y = x^2 + 2x - 3 \) мы воспользуемся алгоритмом исследования и построения графика функции. Давайте разберем шаги подробно.

Шаг 1: Определение типа функции

Функция \( y = x^2 + 2x - 3 \) является квадратной (параболической) функцией. У неё есть форма \( ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = 1 \) (коэффициент при \( x^2 \)),
• \( b = 2 \) (коэффициент при \( x \)),
• \( c = -3 \).

Шаг 2: Находим вершину параболы

Вершина параболы, заданной квадратичной функцией, находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Подставляем значения: \[ x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \] Теперь подставим \( x_v \) обратно в уравнение, чтобы найти значение \( y \) в вершине: \[ y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \] Таким образом, вершина параболы — это точка \( (-1, -4) \).

Шаг 3: Определяем направление открытия параболы

Так как коэффициент \( a = 1 \) положительный, парабола открывается вверх.

Шаг 4: Находим значения функции для различных \( x \)

Чтобы построить график, нам нужно найти несколько значений функции для различных \( x \). Выберем несколько значений:

• \( x = -3 \): \[ y = (-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad (-3, 0) \]
• \( x = -2 \): \[ y = (-2)^2 + 2(-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 \quad \Rightarrow \quad (-2, -3) \]
• \( x = 0 \): \[ y = 0^2 + 2(0) - 3 = -3 \quad \Rightarrow \quad (0, -3) \]
• \( x = 1 \): \[ y = 1^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad (1, 0) \]
• \( x = 2 \): \[ y = 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \quad \Rightarrow \quad (2, 5) \]

Теперь у нас есть несколько точек:

• Вершина: \( (-1, -4) \)
• Точки: \( (-3, 0) \), \( (-2, -3) \), \( (0, -3) \), \( (1, 0) \), \( (2, 5) \)

Шаг 5: Построение графика

Теперь, имея координаты точек, мы можем нанести их на график и соединить плавной линией, которая будет представлять собой параболу.

1. Наносим точки на координатную плоскость:

   • Вершина: \( (-1, -4) \)
   • Остальные точки: \( (-3, 0) \), \( (-2, -3) \), \( (0, -3) \), \( (1, 0) \), \( (2, 5) \)

2. Соединяем точки, учитывая, что парабола симметрична относительно вертикальной линии, проходящей через вершину.

Финальный вид графика

График будет выглядеть как парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \( (-1, -4) \).

Вывод

Таким образом, мы исследовали и построили график функции \( y = x^2 + 2x - 3 \). Вы должны быть в состоянии самостоятельно определить вершину, направление открытия, и построить график, используя полученные точки.