Построить графики функций: 1) у = х² + 2х – 3 найти стационарные точки
Чтобы понять, как построить график функции \( y = x^2 + 2x - 3 \) и найти стационарные точки, давай разберем задачу по шагам.
Шаг 1: Найдем производную функции
Сначала, чтобы найти стационарные точки, нам нужно взять производную функции. Производная функции \( y \) обозначается как \( y' \) или \( \frac{dy}{dx} \).
Для функции \( y = x^2 + 2x - 3 \) вычисляем производную:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(3) \] \[ y' = 2x + 2 - 0 \] \[ y' = 2x + 2 \]
Шаг 2: Найдем стационарные точки
Стационарные точки находятся там, где производная равна нулю. То есть нам нужно решить уравнение:
\[ 2x + 2 = 0 \]
Решим уравнение:
\[ 2x = -2 \] \[ x = -1 \]
Теперь мы нашли значение \( x \), при котором есть стационарная точка. Это \( x = -1 \).
Шаг 3: Найдем значение функции в стационарной точке
Теперь найдем значение функции при \( x = -1 \):
\[ y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 \] \[ y(-1) = 1 - 2 - 3 \] \[ y(-1) = -4 \]
Таким образом, стационарная точка функции — это \( (-1, -4) \).
Шаг 4: Определим характер стационарной точки
Чтобы определить, является ли стационарная точка минимумом или максимумом, мы можем воспользоваться второй производной:
\[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(2x + 2) = 2 \]
Так как \( y'' = 2 > 0 \), это означает, что функция в точке \( (-1, -4) \) имеет локальный минимум.
Шаг 5: Построим график функции
Теперь, когда мы знаем, что стационарная точка — это минимум, можно построить график функции. Обратите внимание на следующие точки:
Стационарная точка: \( (-1, -4) \)
Когда \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3 \implies (0, -3) \]
Когда \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^2 + 2(1) - 3 = 0 \implies (1, 0) \]
Теперь у вас есть точки для построения графика:
- Точка \( (-1, -4) \) — локальный минимум
- Пункты \( (0, -3) \) и \( (1, 0) \) также помогут в графике
Вывод
- Стационарная точка: \( (-1, -4) \) — локальный минимум.
- Постройте график, используя найденные точки и общую форму параболы (она направлена вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положителен).
Теперь у вас есть все необходимое для понимания задачи и построения графика функции. Если у вас есть вопросы или вам нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!
