Построить графики функций у=х^2+2х-3 монотонность функции и её экстреммумы

Давайте разберем задачу по построению графика функции \( y = x^2 + 2x - 3 \), а также определим ее монотонность и экстремумы. ### 1. Построение графика функции Функция \( y = x^2 + 2x - 3 \) является квадратичной и имеет форму параболы. Для построения графика мы сначала найдем ее координаты вершины. #### 1.1. Нахождение вершины параболы Координаты вершины параболы можно найти с помощью формул: \[ x_{в} = -\frac{b}{2a} \] \[ y_{в} = f(x_{в}) \] Здесь \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \). Сначала найдем \( x_{в} \): \[ x_{в} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \] Теперь подставим это значение в функцию для нахождения \( y_{в} \): \[ y_{в} = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \] Таким образом, вершина параболы имеет координаты: \[ (x_{в}, y_{в}) = (-1, -4) \] #### 1.2. Находим нули функции Чтобы построить график, нам также нужны точные значения, где функция пересекает ось X. Для этого найдем нули функции \( y = 0 \): \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Решим уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2 \cdot 1} \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \] Таким образом, функция пересекает ось X в точках \( (1, 0) \) и \( (-3, 0) \). #### 1.3. Построение графика Теперь у нас есть три ключевых точки: - Вершина параболы: \( (-1, -4) \) - Нули функции: \( (1, 0) \) и \( (-3, 0) \) График функции будет выглядеть как парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \( (-1, -4) \). ### 2. Монотонность функции Теперь посмотрим на монотонность. Для этого найдем производную функции: \[ y' = \frac{dy}{dx} = 2x + 2 \] #### 2.1. Определение критических точек Установим производную равной нулю: \[ 2x + 2 = 0 \implies x = -1 \] #### 2.2. Анализ знака производной - При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ y'(-2) = 2(-2) + 2 = -2 < 0 \quad \text{(функция убывает)} \] - При \( x > -1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y'(0) = 2(0) + 2 = 2 > 0 \quad \text{(функция возрастает)} \] ### 3. Экстремумы функции Так как производная меняет знак с отрицательного на положительный в точке \( x = -1 \), то в этой точке находится минимум: - Минимум в точке \( (-1, -4) \). ### 4. Вывод 1. Мы построили график функции \( y = x^2 + 2x - 3 \), который представляет собой параболу, открывающуюся вверх. 2. Вершина — это минимум функции, находящийся в точке \( (-1, -4) \). 3. Функция убывает на интервале \( (-\infty, -1) \) и возрастает на интервале \( (-1, +\infty) \). Если у вас остались вопросы по данной теме или хотите что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!