построить графики функций у=х^2+2х-3 монотонность функции и её экстреммумы
Давайте разберем задачу по построению графика функции \( y = x^2 + 2x - 3 \), а также определим ее монотонность и экстремумы.
1. Построение графика функции
Функция \( y = x^2 + 2x - 3 \) является квадратичной и имеет форму параболы. Для построения графика мы сначала найдем ее координаты вершины.
1.1. Нахождение вершины параболы
Координаты вершины параболы можно найти с помощью формул: \[ x_{в} = -\frac{b}{2a} \] \[ y_{в} = f(x_{в}) \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \).
Сначала найдем \( x_{в} \): \[ x_{в} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \]
Теперь подставим это значение в функцию для нахождения \( y_{в} \): \[ y_{в} = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \]
Таким образом, вершина параболы имеет координаты: \[ (x_{в}, y_{в}) = (-1, -4) \]
1.2. Находим нули функции
Чтобы построить график, нам также нужны точные значения, где функция пересекает ось X. Для этого найдем нули функции \( y = 0 \): \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Решим уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2 \cdot 1} \]
Находим корни: \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Таким образом, функция пересекает ось X в точках \( (1, 0) \) и \( (-3, 0) \).
1.3. Построение графика
Теперь у нас есть три ключевых точки:
- Вершина параболы: \( (-1, -4) \)
- Нули функции: \( (1, 0) \) и \( (-3, 0) \)
График функции будет выглядеть как парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \( (-1, -4) \).
2. Монотонность функции
Теперь посмотрим на монотонность. Для этого найдем производную функции:
\[ y' = \frac{dy}{dx} = 2x + 2 \]
2.1. Определение критических точек
Установим производную равной нулю: \[ 2x + 2 = 0 \implies x = -1 \]
2.2. Анализ знака производной
При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ y'(-2) = 2(-2) + 2 = -2 < 0 \quad \text{(функция убывает)} \]
При \( x > -1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y'(0) = 2(0) + 2 = 2 > 0 \quad \text{(функция возрастает)} \]
3. Экстремумы функции
Так как производная меняет знак с отрицательного на положительный в точке \( x = -1 \), то в этой точке находится минимум:
- Минимум в точке \( (-1, -4) \).
4. Вывод
- Мы построили график функции \( y = x^2 + 2x - 3 \), который представляет собой параболу, открывающуюся вверх.
- Вершина — это минимум функции, находящийся в точке \( (-1, -4) \).
- Функция убывает на интервале \( (-\infty, -1) \) и возрастает на интервале \( (-1, +\infty) \).
Если у вас остались вопросы по данной теме или хотите что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!
