х-2у2=2 3х+у=7
Давайте решим систему уравнений:
- \( x - 2y^2 = 2 \)
- \( 3x + y = 7 \)
Шаг 1: Выразим \( x \) из второго уравнения.
Из уравнения \( 3x + y = 7 \) можем выразить \( x \): \[ 3x = 7 - y \] Теперь поделим обе стороны на 3: \[ x = \frac{7 - y}{3} \]
Шаг 2: Подставим выражение для \( x \) в первое уравнение.
Теперь подставим \( x \) из второго уравнения в первое: \[ \frac{7 - y}{3} - 2y^2 = 2 \]
Шаг 3: Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби.
\[ 7 - y - 6y^2 = 6 \]
Шаг 4: Приведем уравнение к стандартному виду, перенесем все в одну сторону.
\[ -6y^2 - y + 1 = 0 \]
Умножим на -1, чтобы упростить: \[ 6y^2 + y - 1 = 0 \]
Шаг 5: Используем формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения.
Формула дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 6 \), \( b = 1 \), \( c = -1 \). Вычисляем D: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 \]
Шаг 6: Находим корни квадратного уравнения.
Корни находятся по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ y = \frac{-1 \pm 5}{12} \] Это дает два корня:
- \( y = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)
- \( y = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \)
Шаг 7: Теперь подставим найденные значения \( y \) обратно в выражение для \( x \).
Для \( y = \frac{1}{3} \): \[ x = \frac{7 - \frac{1}{3}}{3} = \frac{\frac{21}{3} - \frac{1}{3}}{3} = \frac{\frac{20}{3}}{3} = \frac{20}{9} \]
Для \( y = -\frac{1}{2} \): \[ x = \frac{7 - (-\frac{1}{2})}{3} = \frac{7 + \frac{1}{2}}{3} = \frac{\frac{14}{2} + \frac{1}{2}}{3} = \frac{\frac{15}{2}}{3} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \]
Шаг 8: Подводим итоги.
В результате мы получили две пары решений:
- \( (x, y) = \left(\frac{20}{9}, \frac{1}{3}\right) \)
- \( (x, y) = \left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}\right) \)
Таким образом, система уравнений имеет два решения. Если что-то осталось неясным, дайте знать!
