вероятность поражения цели равна 0,3. определи вероятность того, что при 10 попытках цель будет поражена не менее 4, но не более 6 раз

Для решения данной задачи нам нужно использовать биномиальное распределение. Это распределение применяется, когда мы проводим несколько независимых испытаний с двумя возможными исходами: успех (поражение цели) и неуспех (не поражение цели).

Дано:

• Вероятность успеха (поражения цели) в одном испытании \( p = 0.3 \).
• Вероятность неуспеха (не поражения цели) \( q = 1 - p = 0.7 \).
• Количество испытаний \( n = 10 \).

Задача:

Нам нужно найти вероятность того, что цель будет поражена не менее 4, но не более 6 раз, т.е. \( P(4 \leq X \leq 6) \).

Формула биномиального распределения:

Вероятность того, что успех произойдет \( k \) раз из \( n \) попыток, вычисляется по формуле: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
• \( p \) — вероятность успеха,
• \( q \) — вероятность неуспеха.

Шаги решения:

1. Вычислим вероятности для \( k = 4 \), \( k = 5 \) и \( k = 6 \).
2. Найдем их сумму \( P(4 \leq X \leq 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) \).

Шаг 1: Вычисление вероятностей

Для \( k = 4 \): \[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0.3)^4 \cdot (0.7)^{10-4} \] \[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \] \[ P(X = 4) = 210 \cdot (0.3)^4 \cdot (0.7)^6 \approx 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 = 210 \cdot 0.000953 = 0.20012 \]

Для \( k = 5 \): \[ P(X = 5) = C(10, 5) \cdot (0.3)^5 \cdot (0.7)^{10-5} \] \[ C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = 252 \] \[ P(X = 5) = 252 \cdot (0.3)^5 \cdot (0.7)^5 \approx 252 \cdot 0.00243 \cdot 0.16807 = 252 \cdot 0.0004096 = 0.1031 \]

Для \( k = 6 \): \[ P(X = 6) = C(10, 6) \cdot (0.3)^6 \cdot (0.7)^{10-6} \] \[ C(10, 6) = \frac{10!}{6!(10-6)!} = 210 \] \[ P(X = 6) = 210 \cdot (0.3)^6 \cdot (0.7)^4 \approx 210 \cdot 0.000729 \cdot 0.2401 = 210 \cdot 0.000175 = 0.0371 \]

Шаг 2: Суммирование вероятностей

Теперь мы сложим эти три вероятности: \[ P(4 \leq X \leq 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) \] \[ P(4 \leq X \leq 6) \approx 0.20012 + 0.1031 + 0.0371 \approx 0.34032 \]

Ответ:

Вероятность того, что цель будет поражена не менее 4, но не более 6 раз при 10 попытках, составляет примерно \( 0.3403 \) или \( 34.03\% \).