Давайте решим задачу шаг за шагом.
1. Найдем координаты векторов AC и AD
Точки:
- А(2; -1)
- С(3; 2)
- D(-3; 1)
Вектор AC: Чтобы получить координаты вектора AC, вычтем координаты точки A из координат точки C.
Формула:
[ \vec{AC} = C - A = (x_C - x_A, y_C - y_A) ]
Подставим значения:
[ \vec{AC} = (3 - 2, 2 - (-1)) = (1, 3) ]
Вектор AD: Аналогично, для вектора AD:
Формула:
[ \vec{AD} = D - A = (x_D - x_A, y_D - y_A) ]
Подставим значения:
[ \vec{AD} = (-3 - 2, 1 - (-1)) = (-5, 2) ]
2. Найдем модули векторов AC и AD
Модуль вектора вычисляется по формуле:
[ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} ]
Модуль вектора AC:
[ |\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} ]
Модуль вектора AD:
[ |\vec{AD}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} ]
3. Найдем координаты вектора EF = 3AC - 2AD
Сначала умножим векторы на соответствующие коэффициенты:
3AC:
[ 3AC = 3(1, 3) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 3) = (3, 9) ]
2AD:
[ 2AD = 2(-5, 2) = (2 \cdot -5, 2 \cdot 2) = (-10, 4) ]
Теперь вычтем 2AD из 3AC:
[ \vec{EF} = 3AC - 2AD = (3, 9) - (-10, 4) ]
[ = (3 + 10, 9 - 4) = (13, 5) ]
4. Найдем скалярное произведение векторов AC и AD
Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле:
[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y ]
Для векторов AC и AD:
[ \vec{AC} \cdot \vec{AD} = (1) \cdot (-5) + (3) \cdot (2) = -5 + 6 = 1 ]
5. Найдем косинус угла между векторами AC и AD
Косинус угла между векторами можно найти по формуле:
[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} ]
Подставляя значения:
[ \cos(\theta) = \frac{1}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} ]
Теперь находим значение:
[ |\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}| = \sqrt{10} \cdot \sqrt{29} = \sqrt{290} ]
Таким образом,
[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{290}} ]
Итоговые ответы
Координаты векторов:
Модули векторов:
- AC: ( \sqrt{10} )
- AD: ( \sqrt{29} )
Координаты вектора EF: (13, 5)
Скалярное произведение векторов AC и AD: 1
Косинус угла между векторами: ( \frac{1}{\sqrt{290}} )
