1. Даны точки А (2; -1). С (3: 2) и D (-3: 1). Найдите: 1) координаты векторов AC и AD: 2) модули векторов AC и AD: 3) координаты вектора EF = 3AC - 2AD: 4) скалярное произведение…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Найдем координаты векторов AC и AD

Точки:

• А(2; -1)
• С(3; 2)
• D(-3; 1)

Вектор AC: Чтобы получить координаты вектора AC, вычтем координаты точки A из координат точки C.

Формула: \[ \vec{AC} = C - A = (x_C - x_A, y_C - y_A) \]

Подставим значения: \[ \vec{AC} = (3 - 2, 2 - (-1)) = (1, 3) \]

Вектор AD: Аналогично, для вектора AD:

Формула: \[ \vec{AD} = D - A = (x_D - x_A, y_D - y_A) \]

Подставим значения: \[ \vec{AD} = (-3 - 2, 1 - (-1)) = (-5, 2) \]

2. Найдем модули векторов AC и AD

Модуль вектора вычисляется по формуле: \[ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Модуль вектора AC: \[ |\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]

Модуль вектора AD: \[ |\vec{AD}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \]

3. Найдем координаты вектора EF = 3AC - 2AD

Сначала умножим векторы на соответствующие коэффициенты:

3AC: \[ 3AC = 3(1, 3) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 3) = (3, 9) \]

2AD: \[ 2AD = 2(-5, 2) = (2 \cdot -5, 2 \cdot 2) = (-10, 4) \]

Теперь вычтем 2AD из 3AC:

\[ \vec{EF} = 3AC - 2AD = (3, 9) - (-10, 4) \] \[ = (3 + 10, 9 - 4) = (13, 5) \]

4. Найдем скалярное произведение векторов AC и AD

Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y \]

Для векторов AC и AD: \[ \vec{AC} \cdot \vec{AD} = (1) \cdot (-5) + (3) \cdot (2) = -5 + 6 = 1 \]

5. Найдем косинус угла между векторами AC и AD

Косинус угла между векторами можно найти по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \]

Подставляя значения: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} \]

Теперь находим значение: \[ |\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}| = \sqrt{10} \cdot \sqrt{29} = \sqrt{290} \]

Таким образом, \[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{290}} \]

Итоговые ответы

1. Координаты векторов:

   • AC(1, 3)
   • AD(-5, 2)

2. Модули векторов:

   • AC: \( \sqrt{10} \)
   • AD: \( \sqrt{29} \)

3. Координаты вектора EF: (13, 5)

4. Скалярное произведение векторов AC и AD: 1

5. Косинус угла между векторами: \( \frac{1}{\sqrt{290}} \)