19.4. На рис. 13 показан куб ABCDA,B,D,C,. Определите угол между: а) диагональю DC, стороны DD,C,C и базовой плоскостью АВСD; б) между диагональю В Д куба и плоскостью АВСD; в)…

Чтобы решить задачу, нам нужно разобраться с геометрией куба и углами между его элементами и плоскостями. Пусть наш куб ABCDA,B,D,C имеет ребро длины \( a \).

Условия задачи

1. Куб ABCDA,B,D,C:
   • Вершины куба
     • A(0, 0, 0)
     • B(a, 0, 0)
     • C(a, a, 0)
     • D(0, a, 0)
     • A'(0, 0, a)
     • B'(a, 0, a)
     • C'(a, a, a)
     • D'(0, a, a)

Решение

а) Угол между диагональю DC и базовой плоскостью ABCD

1. Находим координаты точек D и C:

   • D(0, a, 0)
   • C(a, a, 0)

2. Вектор диагонали DC: \[ \vec{DC} = \vec{C} - \vec{D} = (a - 0, a - a, 0 - 0) = (a, 0, 0) \]

3. Нормаль к плоскости ABCD: Плоскость ABCD — это основание куба. Нормаль можно найти, взяв векторы AB и AD: \[ \vec{AB} = (a, 0, 0) \quad \text{и} \quad \vec{AD} = (0, a, 0) \] Нормальный вектор этой плоскости можно найти с помощью векторного произведения: \[ \vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AD} = (a, 0, 0) \times (0, a, 0) = (0, 0, a^2) \]

4. Определяем угол между вектором DC и нормалью к плоскости: Угол между векторами можно найти по формуле: \[ \cos \theta = \frac{\vec{DC} \cdot \vec{N}}{\|\vec{DC}\| \cdot \|\vec{N}\|} \]

5. Вычислим скалярное произведение и длины векторов: \[ \vec{DC} \cdot \vec{N} = (a, 0, 0) \cdot (0, 0, a^2) = 0 \] Длина \(\|\vec{DC}\| = a\) и \(\|\vec{N}\| = a^2\).

6. Итак, так как \(\vec{DC} \cdot \vec{N} = 0\), угол между диагональю DC и плоскостью ABCD составляет \(90^\circ\).

б) Угол между диагональю BD и плоскостью ABCD

1. Находим координаты точек B и D:

   • B(a, 0, 0)
   • D(0, a, 0)

2. Вектор диагонали BD: \[ \vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = (0 - a, a - 0, 0 - 0) = (-a, a, 0) \]

3. Нормаль к плоскости остается прежней: \(\vec{N} = (0, 0, a^2)\).

4. Найдем угол между векторами BD и N: \[ \vec{BD} \cdot \vec{N} = (-a, a, 0) \cdot (0, 0, a^2) = 0 \]

5. Также угол между диагональю BD и плоскостью ABCD составляет \(90^\circ\).

в) Угол между диагональю B'D и боковой плоскостью DCC'

1. Находим координаты точек B' и D:

   • B'(a, 0, a)
   • D(0, a, 0)

2. Вектор диагонали B'D: \[ \vec{B'D} = \vec{D} - \vec{B'} = (0 - a, a - 0, 0 - a) = (-a, a, -a) \]

3. Для определения нормали к плоскости DCC': Векторы DC и DD': \[ \vec{DC} = (a, 0, 0) \quad \text{и} \quad \vec{DD'} = (0, a, a) \] Нормальный вектор: \[ \vec{N} = \vec{DC} \times \vec{DD'} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & a & a \\ \end{vmatrix} = (a^2, -a^2, a^2) \]

4. Угол между векторами B'D и N: \[ \vec{B'D} \cdot \vec{N} = (-a, a, -a) \cdot (a^2, -a^2, a^2) = (-a^3 - a^3 - a^3) = -3a^3 \] Длины векторов: \(\|\vec{B'D}\| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + (-a)^2} = a\sqrt{3}\) и \(\|\vec{N}\| = \sqrt{(a^2)^2 + (-a^2)^2 + (a^2)^2} = a^2\sqrt{3}\).

5. Угол между векторами будет: \[ \cos \theta = \frac{-3a^3}{(a\sqrt{3})(a^2\sqrt{3})} = \frac{-3}{3} = -1 \] Следовательно, угол составляет \(180^\circ\).

Таким образом, мы получили углы между запрашиваемыми диагоналями и плоскостями куба:

1. Угол между DC и ABCD: \(90^\circ\)
2. Угол между BD и ABCD: \(90^\circ\)
3. Угол между B'D и DCC': \(180^\circ\).