(x+1)^4+(x+1)^2-6=0
Решим уравнение \((x+1)^4 + (x+1)^2 - 6 = 0\) шаг за шагом.
Шаг 1: Обозначение переменной
Поскольку в уравнении много однотипных выражений, мы можем сделать замену. Пусть \(y = (x + 1)^2\). Тогда уравнение преобразуется следующим образом:
\[ y^2 + y - 6 = 0 \]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение \(y^2 + y - 6 = 0\). Мы можем решить его, используя формулу дискриминанта.
Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6\).
Подставим значения:
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
Шаг 3: Находим корни уравнения
Теперь мы можем найти корни уравнения по формуле:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]
Теперь находим оба корня:
- \(y_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
- \(y_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
Шаг 4: Обратная замена
Теперь вернемся к переменной \(x\). Мы знаем, что \(y = (x + 1)^2\). Таким образом, у нас есть два случая:
- \(y_1 = 2\):
\[ (x + 1)^2 = 2 \]
Извлекаем корень:
\[ x + 1 = \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x + 1 = -\sqrt{2} \]
Решая для \(x\):
\[ x = \sqrt{2} - 1 \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{2} - 1 \]
- \(y_2 = -3\):
\[ (x + 1)^2 = -3 \]
Поскольку квадрат любой действительной величины не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных решений.
Итог
Таким образом, единственные действительные корни уравнения \((x + 1)^4 + (x + 1)^2 - 6 = 0\):
\[ x = \sqrt{2} - 1 \quad \text{и} \quad x = -\sqrt{2} - 1 \]
Если нужно узнать численные значения корней, можно вычислить:
- \(x \approx 0.414 - 1 = -0.586\)
- \(x \approx -1.414 - 1 = -2.414\)
Теперь вы понимаете, как решить это уравнение. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то более подробно, просто дайте знать!
