Вопрос от Анонимного юзера 03 февраля 2025 15:34

Question 1

X²+19x+25>0

Answer

Давайте разберем неравенство (x^2 + 19x + 25 > 0) пошагово, чтобы понять, как его решить.

Шаг 1: Определение части уравнения

Мы имеем квадратное неравенство. Чтобы его решить, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

[ x^2 + 19x + 25 = 0 ]

Шаг 2: Использование дискриминанта

Для нахождения корней квадратного уравнения используем дискриминант (D):

[ D = b^2 - 4ac ]

где (a = 1), (b = 19) и (c = 25).

Подставляем значения:

[ D = 19^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 361 - 100 = 261 ]

Так как дискриминант положителен ((D > 0)), это значит, что у нас два различных корня.

Шаг 3: Поиск корней

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставляем значения:

[ x_1 = \frac{-19 + \sqrt{261}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-19 - \sqrt{261}}{2} ]

Шаг 4: Интервалы

Корни делят числовую ось на три интервала:

( (-\infty; x_2) )
( (x_2; x_1) )
( (x_1; +\infty) )

Шаг 5: Проверка знака на каждом интервале

Теперь необходимо определить знак выражения (x^2 + 19x + 25) на каждом из этих интервалов. Для этого выбираем тестовые точки:

Для интервала ((- \infty, x_2)) выберем точку, например (x = -20).
Для интервала ((x_2, x_1)) выберем точку (x = -10).
Для интервала ((x_1, +\infty)) выберем точку (x = 0).

Подставляем выбранные точки в неравенство (x^2 + 19x + 25):

(x = -20): [ (-20)^2 + 19(-20) + 25 = 400 - 380 + 25 = 45 > 0 ]
(x = -10): [ (-10)^2 + 19(-10) + 25 = 100 - 190 + 25 = -65 < 0 ]
(x = 0): [ 0^2 + 19(0) + 25 = 25 > 0 ]

Шаг 6: Запись решения

Согласно проверке, знаки определяются следующим образом:

В интервале ((- \infty, x_2)) — положительный.
В интервале ((x_2, x_1)) — отрицательный.
В интервале ((x_1, +\infty)) — положительный.

Так как мы решаем неравенство (x^2 + 19x + 25 > 0), ответ будет охватывать интервалы, где выражение положительно:

[ x \in (-\infty, x_2) \cup (x_1, +\infty) ]

Заключение

Таким образом, неравенство (x^2 + 19x + 25 > 0) выполняется на интервалах:

[ x \in (-\infty, \frac{-19 - \sqrt{261}}{2}) \cup (\frac{-19 + \sqrt{261}}{2}, +\infty) ]

В этом виде вы можете представить ответ. Если нужно найти приближенно значения корней, то:

[ \sqrt{261} \approx 16.155 ] Окончательные корни будут приближенно:

[ x_1 \approx -1.922 \quad \text{и} \quad x_2 \approx -17.078 ]

Таким образом, окончательный ответ будет:

[ x \in (-\infty, -17.078) \cup (-1.922, +\infty) ]

Question 2

x²+19x+25>0

Answer

Давайте разберем неравенство \(x^2 + 19x + 25 > 0\) пошагово, чтобы понять, как его решить. ### Шаг 1: Определение части уравнения Мы имеем квадратное неравенство. Чтобы его решить, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: \[ x^2 + 19x + 25 = 0 \] ### Шаг 2: Использование дискриминанта Для нахождения корней квадратного уравнения используем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 1\), \(b = 19\) и \(c = 25\). Подставляем значения: \[ D = 19^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 361 - 100 = 261 \] Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), это значит, что у нас два различных корня. ### Шаг 3: Поиск корней Корни квадратного уравнения можно найти по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x_1 = \frac{-19 + \sqrt{261}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-19 - \sqrt{261}}{2} \] ### Шаг 4: Интервалы Корни делят числовую ось на три интервала: 1. \( (-\infty; x_2) \) 2. \( (x_2; x_1) \) 3. \( (x_1; +\infty) \) ### Шаг 5: Проверка знака на каждом интервале Теперь необходимо определить знак выражения \(x^2 + 19x + 25\) на каждом из этих интервалов. Для этого выбираем тестовые точки: 1. Для интервала \((- \infty, x_2)\) выберем точку, например \(x = -20\). 2. Для интервала \((x_2, x_1)\) выберем точку \(x = -10\). 3. Для интервала \((x_1, +\infty)\) выберем точку \(x = 0\). Подставляем выбранные точки в неравенство \(x^2 + 19x + 25\): 1. \(x = -20\): \[ (-20)^2 + 19(-20) + 25 = 400 - 380 + 25 = 45 > 0 \] 2. \(x = -10\): \[ (-10)^2 + 19(-10) + 25 = 100 - 190 + 25 = -65 < 0 \] 3. \(x = 0\): \[ 0^2 + 19(0) + 25 = 25 > 0 \] ### Шаг 6: Запись решения Согласно проверке, знаки определяются следующим образом: - В интервале \((- \infty, x_2)\) — положительный. - В интервале \((x_2, x_1)\) — отрицательный. - В интервале \((x_1, +\infty)\) — положительный. Так как мы решаем неравенство \(x^2 + 19x + 25 > 0\), ответ будет охватывать интервалы, где выражение положительно: \[ x \in (-\infty, x_2) \cup (x_1, +\infty) \] ### Заключение Таким образом, неравенство \(x^2 + 19x + 25 > 0\) выполняется на интервалах: \[ x \in (-\infty, \frac{-19 - \sqrt{261}}{2}) \cup (\frac{-19 + \sqrt{261}}{2}, +\infty) \] В этом виде вы можете представить ответ. Если нужно найти приближенно значения корней, то: \[ \sqrt{261} \approx 16.155 \] Окончательные корни будут приближенно: \[ x_1 \approx -1.922 \quad \text{и} \quad x_2 \approx -17.078 \] Таким образом, окончательный ответ будет: \[ x \in (-\infty, -17.078) \cup (-1.922, +\infty) \]