x²+19x+25>0

Давайте разберем неравенство \(x^2 + 19x + 25 > 0\) пошагово, чтобы понять, как его решить.

Шаг 1: Определение части уравнения

Мы имеем квадратное неравенство. Чтобы его решить, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

\[ x^2 + 19x + 25 = 0 \]

Шаг 2: Использование дискриминанта

Для нахождения корней квадратного уравнения используем дискриминант \(D\):

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 1\), \(b = 19\) и \(c = 25\).

Подставляем значения:

\[ D = 19^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 361 - 100 = 261 \]

Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), это значит, что у нас два различных корня.

Шаг 3: Поиск корней

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения:

\[ x_1 = \frac{-19 + \sqrt{261}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-19 - \sqrt{261}}{2} \]

Шаг 4: Интервалы

Корни делят числовую ось на три интервала:

1. \( (-\infty; x_2) \)
2. \( (x_2; x_1) \)
3. \( (x_1; +\infty) \)

Шаг 5: Проверка знака на каждом интервале

Теперь необходимо определить знак выражения \(x^2 + 19x + 25\) на каждом из этих интервалов. Для этого выбираем тестовые точки:

1. Для интервала \((- \infty, x_2)\) выберем точку, например \(x = -20\).
2. Для интервала \((x_2, x_1)\) выберем точку \(x = -10\).
3. Для интервала \((x_1, +\infty)\) выберем точку \(x = 0\).

Подставляем выбранные точки в неравенство \(x^2 + 19x + 25\):

1. \(x = -20\): \[ (-20)^2 + 19(-20) + 25 = 400 - 380 + 25 = 45 > 0 \]

2. \(x = -10\): \[ (-10)^2 + 19(-10) + 25 = 100 - 190 + 25 = -65 < 0 \]

3. \(x = 0\): \[ 0^2 + 19(0) + 25 = 25 > 0 \]

Шаг 6: Запись решения

Согласно проверке, знаки определяются следующим образом:

• В интервале \((- \infty, x_2)\) — положительный.
• В интервале \((x_2, x_1)\) — отрицательный.
• В интервале \((x_1, +\infty)\) — положительный.

Так как мы решаем неравенство \(x^2 + 19x + 25 > 0\), ответ будет охватывать интервалы, где выражение положительно:

\[ x \in (-\infty, x_2) \cup (x_1, +\infty) \]

Заключение

Таким образом, неравенство \(x^2 + 19x + 25 > 0\) выполняется на интервалах:

\[ x \in (-\infty, \frac{-19 - \sqrt{261}}{2}) \cup (\frac{-19 + \sqrt{261}}{2}, +\infty) \]

В этом виде вы можете представить ответ. Если нужно найти приближенно значения корней, то:

\[ \sqrt{261} \approx 16.155 \] Окончательные корни будут приближенно:

\[ x_1 \approx -1.922 \quad \text{и} \quad x_2 \approx -17.078 \]

Таким образом, окончательный ответ будет:

\[ x \in (-\infty, -17.078) \cup (-1.922, +\infty) \]