Периметр прямоугольника равен 30см.Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56см²

Давайте решим задачу о нахождении сторон прямоугольника, исходя из заданного периметра и площади.

1. Записываем условия задачи:

   • Периметр (P) прямоугольника равен 30 см.
   • Площадь (S) прямоугольника равна 56 см².

2. Используем формулы для периметра и площади прямоугольника:

   • Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \[ P = 2(a + b) \] где \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника.
   • Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: \[ S = a \cdot b \]

3. Подставляем известные значения в уравнение периметра: Из уравнения периметра у нас есть: \[ 30 = 2(a + b) \]

   Упростим это уравнение: \[ a + b = 15 \quad \text{(делим обе стороны на 2)} \]

4. Теперь разложим второй параметр: Из уравнения площади: \[ ab = 56 \]

5. Теперь у нас есть система уравнений:

   • Уравнение 1: \( a + b = 15 \)
   • Уравнение 2: \( ab = 56 \)

6. Выразим одну переменную через другую из первого уравнения: Выразим \(b\) через \(a\): \[ b = 15 - a \]

7. Подставим выражение для \(b\) во второе уравнение: \[ a(15 - a) = 56 \] Раскроем скобки: \[ 15a - a^2 = 56 \] Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ a^2 - 15a + 56 = 0 \]

8. Решим это квадратное уравнение: Используем формулу решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Для нашего уравнения \(a = 1\), \(b = -15\) и \(c = 56\).

   Подставляем значения: \[ a = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1} \] \[ a = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 224}}{2} \] \[ a = \frac{15 \pm \sqrt{1}}{2} \] \[ a = \frac{15 \pm 1}{2} \]

   Это дает два возможных значения для \(a\): \[ a_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad a_2 = \frac{14}{2} = 7 \]

9. Находим соответствующие значения для \(b\): Если \(a = 8\): \[ b = 15 - 8 = 7 \] Если \(a = 7\): \[ b = 15 - 7 = 8 \]

10. Ответ: Стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.

Таким образом, мы нашли стороны прямоугольника, зная его периметр и площадь.