функция y=-x^2-3x+28 определенна на отрезке [-6;5] определите наименьшее значение этой функции
Давайте разберёмся с данной задачей по математике, а именно с нахождением наименьшего значения функции на заданном отрезке.
Шаг 1: Определим функцию
Мы имеем квадратичную функцию: \[ y = -x^2 - 3x + 28 \]
Шаг 2: Определение типа функции
Функция является квадратичной и открыта вниз (так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный). Это значит, что она имеет максимум, а не минимум. Однако мы ищем наименьшее значение на определённом отрезке.
Шаг 3: Найдём производную функции
Чтобы найти экстремумы функции, найдем её производную и приравняем к нулю.
\[ y' = -2x - 3 \]
Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[ -2x - 3 = 0 \] \[ -2x = 3 \] \[ x = -\frac{3}{2} \]
Шаг 4: Определение значения производной на отрезке
Проведем проверку, попадает ли найденное значение \(x = -\frac{3}{2}\) в указанный интервал \([-6; 5]\).
Так как \(-\frac{3}{2} = -1.5\) и это значение находится в заданном отрезке, мы можем продолжать.
Шаг 5: Найдём значения функции на краях отрезка и в найденной точке
Теперь посчитаем значения функции в трёх точках: на краях отрезка и в найденной точке экстремума.
Значение в точке \(x = -6\): \[ y(-6) = -(-6)^2 - 3(-6) + 28 = -36 + 18 + 28 = 10 \]
Значение в точке \(x = -1.5\): \[ y(-1.5) = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) + 28 = -2.25 + 4.5 + 28 = 30.25 \]
Значение в точке \(x = 5\): \[ y(5) = -(5)^2 - 3(5) + 28 = -25 - 15 + 28 = -12 \]
Шаг 6: Сравнение значений
Теперь подведем итог и сравним полученные значения функции:
- \(y(-6) = 10\)
- \(y(-1.5) = 30.25\)
- \(y(5) = -12\)
Наименьшее значение функции на заданном отрезке \([-6; 5]\) — это \(y(5) = -12\).
Ответ
Наименьшее значение функции \(y = -x^2 - 3x + 28\) на отрезке \([-6; 5]\) равно \(-12\).
