5cos^2x-cosx-4=0

Давайте решим уравнение \(5\cos^2 x - \cos x - 4 = 0\) шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Это уравнение является квадратным относительно \(y = \cos x\). Подставим \(y\) вместо \(\cos x\): \[ 5y^2 - y - 4 = 0 \]

Шаг 2: Находим корни квадратного уравнения

Чтобы найти корни квадратного уравнения, используем формулу корней: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 5\), \(b = -1\), \(c = -4\).

Сначала высчитаем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня.

Теперь подставим значения в формулу: \[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 \pm 9}{10} \]

Шаг 3: Находим корни

Рассмотрим два случая:

1. \(y_1 = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1\)
2. \(y_2 = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8\)

Таким образом, мы получили два значения для \(y\): \[ y_1 = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = -0.8 \]

Шаг 4: Возвращаемся к \(\cos x\)

Теперь вернемся к \(x\):

1. При \(y_1 = \cos x = 1\): \[ \cos x = 1 \implies x = 0 + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. При \(y_2 = \cos x = -0.8\): \[ \cos x = -0.8 \]

Для этого значения нужно использовать арккосинус: \[ x = \arccos(-0.8) \]

Поскольку косинус отрицателен, \(x\) будет находиться в 2-й и 3-й четвертях. Решения будут в следующем виде: \[ x = \arccos(-0.8) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\arccos(-0.8) + 2k\pi \quad \text{для любого} \, k \in \mathbb{Z} \]

Шаг 5: Определение \(\arccos(-0.8)\)

Численно значение \(\arccos(-0.8) \approx 2.4981\) радиан.

Таким образом, полные решения будут:

1. \(x = 0 + 2k\pi\)
2. \(x \approx 2.4981 + 2k\pi\)
3. \(x \approx -2.4981 + 2k\pi\)

Итог

Все решения уравнения \(5\cos^2 x - \cos x - 4 = 0\) составляют: \[ x = 2k\pi, \quad x \approx 2.4981 + 2k\pi, \quad x \approx -2.4981 + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]