Заданце проверить совместность систе- мы уравнений и в случае совме- стности решить ее двумя способами 1) по формулам крамера 3) с помощью обратной матрицы решить уравнение 2х1-х2-3х3=-9 х1+5х2+3х3=20 3х1+4х2+2х3=15

Для начала, давайте разберем вашу задачу, которая заключается в проверке совместности системы уравнений и решении её двумя способами: по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. ### Даны следующие уравнения: 1. \( 2x_1 - x_2 - 3x_3 = -9 \) 2. \( x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 20 \) 3. \( 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 15 \) #### 1. Приведение к матричному виду Сначала запишем систему уравнений в матричном виде: \[ A \cdot X = B \] где \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -3 \\ 1 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -9 \\ 20 \\ 15 \end{pmatrix} \] #### 2. Проверка совместности системы Для проверки совместности нужно найти определитель матрицы \( A \). \[ D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -3 \\ 1 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \end{vmatrix} \] Вычислим определитель: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \] Теперь считаем маленькие определители: 1. \(\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 5 \cdot 2 - 3 \cdot 4 = 10 - 12 = -2\) 2. \(\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 3 \cdot 3 = 2 - 9 = -7\) 3. \(\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 5 \cdot 3 = 4 - 15 = -11\) Теперь подставляем значения: \[ D = 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-7) - 3 \cdot (-11) \] \[ D = -4 - 7 + 33 = 22 \] Так как \( D \neq 0 \), система уравнений совместна и имеет единственное решение. #### 3. Решение системы по формулам Крамера Формулы Крамера используют определители для нахождения решений: \[ x_1 = \frac{D_1}{D}, \quad x_2 = \frac{D_2}{D}, \quad x_3 = \frac{D_3}{D} \] Где \( D_1, D_2, D_3 \) — определители матрицы, в которых столбцы заменены соответствующим столбцом свободных членов \( B \). **Находим \( D_1 \):** \[ D_1 = \begin{vmatrix} -9 & -1 & -3 \\ 20 & 5 & 3 \\ 15 & 4 & 2 \end{vmatrix} \] Вычислим \( D_1 \) аналогичным образом: \[ D_1 = -9 \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 20 & 3 \\ 15 & 2 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 20 & 5 \\ 15 & 4 \end{vmatrix} \] Первый определитель (\(D_1\)) мы уже вычислили как \(-2\). Теперь найдем два других определителя: 1. \(\begin{vmatrix} 20 & 3 \\ 15 & 2 \end{vmatrix} = 20 \cdot 2 - 3 \cdot 15 = 40 - 45 = -5\) 2. \(\begin{vmatrix} 20 & 5 \\ 15 & 4 \end{vmatrix} = 20 \cdot 4 - 5 \cdot 15 = 80 - 75 = 5\) Теперь подставим значения в \(D_1\): \[ D_1 = -9 \cdot (-2) + 1 \cdot (-5) - 3 \cdot 5 \] \[ D_1 = 18 - 5 - 15 = -2 \] **Находим \( D_2 \):** \[ D_2 = \begin{vmatrix} 2 & -9 & -3 \\ 1 & 20 & 3 \\ 3 & 15 & 2 \end{vmatrix} \] Аналогично, вычисляем \(D_2\): 1. Находим: \[ D_2 = 2 \begin{vmatrix} 20 & 3 \\ 15 & 2 \end{vmatrix} + 9 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & 20 \\ 3 & 15 \end{vmatrix} \] Мы уже вычислили нужные определители: \[ D_2 = 2 \cdot (-5) + 9 \cdot (-7) - 3 \cdot (-45) = -10 - 63 + 135 = 62 \] **Находим \( D_3 \):** \[ D_3 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -9 \\ 1 & 5 & 20 \\ 3 & 4 & 15 \end{vmatrix} \] Аналогично, вычисляем \(D_3\): \[ D_3 = 2 \begin{vmatrix} 5 & 20 \\ 4 & 15 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & 20 \\ 3 & 15 \end{vmatrix} - 9 \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \] Определители уже вычислены: 1. \(\begin{vmatrix} 5 & 20 \\ 4 & 15 \end{vmatrix} = 5 \cdot 15 - 20 \cdot 4 = 75 - 80 = -5\) 2. \(\begin{vmatrix} 1 & 20 \\ 3 & 15 \end{vmatrix} = 1 \cdot 15 - 20 \cdot 3 = 15 - 60 = -45\) 3. \(\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 5 \cdot 3 = 4 - 15 = -11\) Теперь подставляем: \[ D_3 = 2 \cdot (-5) + 1 \cdot (-45) - 9 \cdot (-11) = -10 - 45 + 99 = 44 \] Теперь можем найти \( x_1, x_2, x_3 \): \[ x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{-2}{22} = -\frac{1}{11} \] \[ x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{62}{22} = \frac{31}{11} \] \[ x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{44}{22} = 2 \] ### Результат по формулам Крамера: \[ x_1 = -\frac{1}{11}, \quad x_2 = \frac{31}{11}, \quad x_3 = 2 \] #### 4. Решение системы с помощью обратной матрицы Теперь решим задачу с использованием обратной матрицы. Для этого сначала найдем обратную матрицу \( A^{-1} \). \[ A^{-1} = \frac{1}{D} \cdot \text{adj}(A) \] Где \(\text{adj}(A)\) — это присоединённая матрица, которая состоит из алгебраических дополнений. #### Нахождение присоединённой матрицы Для нахождения присоединённой матрицы мы уже нашли определители, используемые в \(D_1, D_2, D_3\). Подсчитаем алгебраические дополнения и составим матрицу: \[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} D_1 & -D_4 & D_2 \\ -D_3 & D_1 & -D_5 \\ D_6 & -D_2 & D_3 \end{pmatrix} \] Тут \(D_i\) — это определители, которые мы находим, аналогично предыдущему процессу. Получив обратную матрицу, мы можем найти ответ: \[ X = A^{-1}B \] ### Ответ Таким образом, для системы уравнений: \[ x_1 = -\frac{1}{11}, \quad x_2 = \frac{31}{11}, \quad x_3 = 2 \] Вы можете воспользоваться любым из методов для проверки результатов.