На доске написано 60 различных целых чисел. Каждое число возвели либо в квадрат, либо в куб и результат записали вместо первоначального числа. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться записано на доске?

Наименьшее количество различных чисел, которое могло оказаться записано на доске, составляет 14. Для этого, возьмем следующие шаги: 1. Прежде всего, важно заметить, что каждое из 60 начальных целых чисел мы можем возвести в квадрат (это даст нам новое число) или в куб (здесь тоже получится новое число). 2. Давайте выделим, сколько квадратов и кубов может быть в этом процессе. Мы можем получить квадраты всех чисел от 1 до 8 (1^2 = 1, 2^2 = 4, ..., 8^2 = 64) и кубы всех чисел от 1 до 4 (1^3 = 1, 2^3 = 8, 3^3 = 27, 4^3 = 64). 3. Отметим, что квадраты 5-8 пересекаются с кубами 2-4 (25, 36, 49 и 64). И это дает нам уже 8 + 4 - 4 (вычитаем общие числа) = 8 квадратов и 4 куба, что дает нам 12 различных чисел. 4. Теперь добавим куб числа 1 (1^3 = 1), который не входит в пересечение. Таким образом, у нас теперь 13 различных чисел. 5. Наконец, добавим само число 1 (1^1 = 1), которое не учитывалось ранее, и это даст нам всего 14 различных чисел. Таким образом, наименьшее количество различных чисел, которые могли быть записаны на доске после возведения их в квадрат или куб, составляет 14.