Рассмотрим количество задач, которые Таня решает каждый день.
Обозначим количество задач, которые она решает в первый день, как ( a_1 = 2 ) (задачи).
Пусть количество задач, которые Таня решает каждый день, увеличивается на ( d ). Тогда во второй день она решит ( a_2 = a_1 + d = 2 + d ) задач, в третий день ( a_3 = a_1 + 2d = 2 + 2d ) задач и так далее.
В общем случае, количество задач, решенных в ( n )-й день, можно выразить как:
[
a_n = 2 + (n - 1)d
]
Таня решает задачи в течение 13 дней. Общее количество задач, решенных за 13 дней, будет равно сумме всех задач, решенных за эти дни:
[
S_{13} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{13}
]
Подставим значения:
[
S_{13} = 2 + (2 + d) + (2 + 2d) + \ldots + (2 + 12d)
]
Эту сумму можно упростить:
[
S_{13} = 13 \cdot 2 + d(0 + 1 + 2 + \ldots + 12)
]
Сумма первых ( n ) натуральных чисел равна ( \frac{n(n + 1)}{2} ), поэтому:
[
0 + 1 + 2 + \ldots + 12 = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78
]
Тогда мы можем выразить S как:
[
S_{13} = 26 + 78d
]
По условию задачи, Таня решила 260 задач:
[
26 + 78d = 260
]
Решаем это уравнение:
[
78d = 260 - 26
]
[
78d = 234
]
[
d = \frac{234}{78} = 3
]
Теперь, зная ( d = 3 ), определим, сколько задач Таня решала в последний, 13-й день:
[
a_{13} = 2 + (13 - 1) \cdot 3 = 2 + 12 \cdot 3 = 2 + 36 = 38
]
Таким образом, в последний день Таня решила 38 задач.
