Тане надо решить 260 задач. Ежедневно она решает на одно и тоже количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Таня решила 2 задач.…

Рассмотрим количество задач, которые Таня решает каждый день.

Обозначим количество задач, которые она решает в первый день, как \( a_1 = 2 \) (задачи).

Пусть количество задач, которые Таня решает каждый день, увеличивается на \( d \). Тогда во второй день она решит \( a_2 = a_1 + d = 2 + d \) задач, в третий день \( a_3 = a_1 + 2d = 2 + 2d \) задач и так далее.

В общем случае, количество задач, решенных в \( n \)-й день, можно выразить как: \[ a_n = 2 + (n - 1)d \]

Таня решает задачи в течение 13 дней. Общее количество задач, решенных за 13 дней, будет равно сумме всех задач, решенных за эти дни: \[ S_{13} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{13} \] Подставим значения: \[ S_{13} = 2 + (2 + d) + (2 + 2d) + \ldots + (2 + 12d) \] Эту сумму можно упростить: \[ S_{13} = 13 \cdot 2 + d(0 + 1 + 2 + \ldots + 12) \] Сумма первых \( n \) натуральных чисел равна \( \frac{n(n + 1)}{2} \), поэтому: \[ 0 + 1 + 2 + \ldots + 12 = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78 \] Тогда мы можем выразить S как: \[ S_{13} = 26 + 78d \]

По условию задачи, Таня решила 260 задач: \[ 26 + 78d = 260 \]

Решаем это уравнение: \[ 78d = 260 - 26 \] \[ 78d = 234 \] \[ d = \frac{234}{78} = 3 \]

Теперь, зная \( d = 3 \), определим, сколько задач Таня решала в последний, 13-й день: \[ a_{13} = 2 + (13 - 1) \cdot 3 = 2 + 12 \cdot 3 = 2 + 36 = 38 \]

Таким образом, в последний день Таня решила 38 задач.