Для решения данной задачи начнем с обозначения сторон треугольника. Пусть:
- меньший катет равен ( x ) см,
- больший катет равен ( x + 2 ) см (на 2 см больше меньшего),
- гипотенуза равна ( x + 4 ) см (на 4 см больше меньшего катета).
Теперь, согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике выполняется следующее равенство:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
где ( a ) и ( b ) — катеты, а ( c ) — гипотенуза.
Подставим наши значения в данное уравнение:
[
x^2 + (x + 2)^2 = (x + 4)^2
]
Теперь раскроем скобки:
- Раскроим квадрат второго катета:
[
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
]
- Раскроим квадрат гипотенузы:
[
(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16
]
Теперь подставим эти выражения в уравнение:
[
x^2 + (x^2 + 4x + 4) = (x^2 + 8x + 16)
]
Объединим все члены:
[
x^2 + x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16
]
Сложим похожие элементы на левой стороне:
[
2x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16
]
Теперь перенесем все влево, чтобы привести уравнение к стандартному виду:
[
2x^2 + 4x + 4 - x^2 - 8x - 16 = 0
]
Упростим уравнение:
[
x^2 - 4x - 12 = 0
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 8}{2}
]
Это дает нам два решения:
- ( x = \frac{12}{2} = 6 )
- ( x = \frac{-4}{2} = -2 ) (не подходит, так как длина катета не может быть отрицательной)
Таким образом, ( x = 6 ) см — это длина меньшего катета.
Теперь найдем остальные стороны:
- Меньший катет: ( x = 6 ) см
- Больший катет: ( x + 2 = 6 + 2 = 8 ) см
- Гипотенуза: ( x + 4 = 6 + 4 = 10 ) см
Итак, стороны нашего треугольника:
- Меньший катет: 6 см
- Больший катет: 8 см
- Гипотенуза: 10 см
Мы можем убедиться, что эти размеры удовлетворяют теореме Пифагора:
[
6^2 + 8^2 = 10^2 \
36 + 64 = 100 \
100 = 100
]
Ответ: Стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см.
