Дано:А1(2,1,4); А2(-1,5,-2); А3(-7,-3,2); А4(-6,-3,6). Найти: a) угол между векторами и ; б) площадь грани ; в) объем пирамиды; г) уравнение плоскости (А1А2А3) д) длину высоты,…

Для решения данной задачи, давайте разберём всё по шагам.

Даны векторы:

• \( A_1(2, 1, 4) \)
• \( A_2(-1, 5, -2) \)
• \( A_3(-7, -3, 2) \)
• \( A_4(-6, -3, 6) \)

a) Угол между векторами \( A_1A_2 \) и \( A_1A_3 \)

1. Найдем векторы: \[ A_1A_2 = A_2 - A_1 = (-1 - 2, 5 - 1, -2 - 4) = (-3, 4, -6) \] \[ A_1A_3 = A_3 - A_1 = (-7 - 2, -3 - 1, 2 - 4) = (-9, -4, -2) \]

2. Найдем угол между векторами с помощью скалярного произведения: \[ \cos \theta = \frac{A_1A_2 \cdot A_1A_3}{|A_1A_2| |A_1A_3|} \]

   • Скалярное произведение: \[ A_1A_2 \cdot A_1A_3 = (-3)(-9) + (4)(-4) + (-6)(-2) = 27 - 16 + 12 = 23 \]

   • Длина векторов: \[ |A_1A_2| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 16 + 36} = \sqrt{61} \] \[ |A_1A_3| = \sqrt{(-9)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{81 + 16 + 4} = \sqrt{101} \]

   • Косинус угла: \[ \cos \theta = \frac{23}{\sqrt{61} \cdot \sqrt{101}} \]

   Теперь найдем угол \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{23}{\sqrt{61 \cdot 101}} \right) \]

b) Площадь грани \( A_1A_2A_3 \)

1. Векторы \( A_1A_2 \) и \( A_1A_3 \) были найдены ранее. Теперь найдем их векторное произведение: \[ A_1A_2 \times A_1A_3 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 4 & -6 \\ -9 & -4 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \cdot -2 - (-6) \cdot -4) - \mathbf{j}(-3 \cdot -2 - (-6) \cdot -9) + \mathbf{k}(-3 \cdot -4 - 4 \cdot -9) \]

   Раскроем определитель: \[ = \mathbf{i}(-8 - 24) - \mathbf{j}(6 - 54) + \mathbf{k}(12 - 36) \] \[ = \mathbf{i}(-32) + \mathbf{j}(48) + \mathbf{k}(-24) = (-32, 48, -24) \]

2. Длина векторного произведения: \[ |A_1A_2 \times A_1A_3| = \sqrt{(-32)^2 + 48^2 + (-24)^2} = \sqrt{1024 + 2304 + 576} = \sqrt{3844} = 62 \]

3. Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} |A_1A_2 \times A_1A_3| = \frac{1}{2} \cdot 62 = 31 \]

c) Объём пирамиды

Объём пирамиды можно найти по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \] где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота.

d) Уравнение плоскости \( A_1A_2A_3 \)

Уравнение плоскости можно записать в виде: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \]

Для этого нужна нормаль (векторное произведение \( A_1A_2 \times A_1A_3 \)): \[ -32x + 48y - 24z + D = 0 \] Для нахождения значения \( D \), подставим координаты одной из точек, например \( A_1(2, 1, 4) \):

\[ -32(2) + 48(1) - 24(4) + D = 0 \\ -64 + 48 - 96 + D = 0 \\ D = 112 \]

Таким образом, уравнение плоскости: \[ -32x + 48y - 24z + 112 = 0 \]

e) Длина высоты, опущенной из вершины \( A_4 \) на грань \( A_1A_2A_3 \)

Для нахождения длины высоты сначала нужно найти расстояние от точки до плоскости. Формула для расстояния от точки \( (x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Здесь \( (x_0, y_0, z_0) = A_4(-6, -3, 6) \): \[ d = \frac{|-32(-6) + 48(-3) - 24(6) + 112|}{\sqrt{(-32)^2 + 48^2 + (-24)^2}} \] Рассчитаем: \[ = \frac{|192 - 144 - 144 + 112|}{62} = \frac{|16|}{62} = \frac{8}{31} \]

f) Длина медианы к ребру \( A_3A_4 \)

Медиана делит отрезок пополам. Найдём середину \( A_3A_4 \): \[ M = \left( \frac{-7 - 6}{2}, \frac{-3 - 3}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right) = \left( -\frac{13}{2}, -3, 4 \right) \]

Теперь найдём длину отрезка \( A_1A_M \): \[ A_1M = \sqrt{ \left( 2 + \frac{13}{2} \right)^2 + (1 + 3)^2 + (4 - 4)^2 } \] \[ = \sqrt{ \left( \frac{4}{2} + \frac{13}{2} \right)^2 + (4)^2 } = \sqrt{ \left( \frac{17}{2} \right)^2 + 16 } \] Приведём к общему знаменателю: \[ = \sqrt{ \frac{289 + 64}{4} } = \sqrt{ \frac{353}{4}} = \frac{\sqrt{353}}{2} \]

Теперь все задачи решены!