2 вариант
Давайте разберем обе задачи из предложенного варианта.
Задача 1
Найти площадь треугольника, если известны три стороны: 13, 14, 15.
Для этого используем формулу Герона:
Вычислим полупериметр \( s \):
\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \]
Площадь \( S \) вычисляется по формуле Герона:
\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
Подставляя значения, получаем:
\[ S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} \]
\[ S = \sqrt{7056} \]
Вычислим корень:
\[ S \approx 84 \]
Таким образом, площадь треугольника составляет 84 квадратных единицы.
Задача 2
Найдите наименьшую и наибольшую высоты треугольника со сторонами: 8, 9, 10.
Чтобы найти высоты треугольника, сначала нужно найти его площадь, опять же используя формулу Герона. Затем используем формулу для нахождения высоты через площадь.
Вычислим полупериметр \( s \):
\[ s = \frac{8 + 9 + 10}{2} = 13.5 \]
Найдем площадь \( S \):
\[ S = \sqrt{13.5(13.5-8)(13.5-9)(13.5-10)} \]
\[ S = \sqrt{13.5 \times 5.5 \times 4.5 \times 3.5} \]
\[ S = \sqrt{1160.4375} \]
\[ S \approx 34 \]
Найдем высоты \( h_a, h_b, h_c \) через площадь:
Для стороны \( a = 8 \):
\[ h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 34}{8} \approx 8.5 \]
Для стороны \( b = 9 \):
\[ h_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 34}{9} \approx 7.56 \]
Для стороны \( c = 10 \):
\[ h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \times 34}{10} \approx 6.8 \]
Наименьшая высота: \( h_c \approx 6.8 \)
Наибольшая высота: \( h_a \approx 8.5 \)
