Дано А1(2,1,4); А2(-1,5,-2); А3(-7,-3,2); А4(-6,-3,6). А) угол между векторами А1 А2 и А1 и А4; б) площадь грани А1 А2 А3 ; в) объем пирамиды ; г) уравнение плоскости (А1А2А3) д)…

Для решения этой задачи давайте разобьем её на несколько частей и разберем все пункты.

Обозначение векторов

Даны четыре точки (вектора):

• \( A_1(2, 1, 4) \)
• \( A_2(-1, 5, -2) \)
• \( A_3(-7, -3, 2) \)
• \( A_4(-6, -3, 6) \)

А) Угол между векторами A1A2 и A1A4

1. Вычислим векторы A1A2 и A1A4:

   • \( A_1A_2 = A_2 - A_1 = (-1 - 2, 5 - 1, -2 - 4) = (-3, 4, -6) \)
   • \( A_1A_4 = A_4 - A_1 = (-6 - 2, -3 - 1, 6 - 4) = (-8, -4, 2) \)

2. Находим косинус угла между векторами: Угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) вычисляется по формуле: \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]

3. Вычисляем скалярное произведение \( A_1A_2 \) и \( A_1A_4 \): \[ \mathbf{A_1A_2} \cdot \mathbf{A_1A_4} = (-3)(-8) + (4)(-4) + (-6)(2) = 24 - 16 - 12 = -4 \]

4. Найдем модули векторов A1A2 и A1A4: \[ |\mathbf{A_1A_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 16 + 36} = \sqrt{61} \] \[ |\mathbf{A_1A_4}| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 16 + 4} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \]

5. Подставляем в формулу: \[ \cos \theta = \frac{-4}{\sqrt{61} \cdot 2\sqrt{21}} = \frac{-4}{2\sqrt{1281}} = \frac{-2}{\sqrt{1281}} \] Теперь находим угол \( \theta \): \[ \theta = \arccos\left(\frac{-2}{\sqrt{1281}}\right) \]

Б) Площадь грани A1A2A3

1. Вычислим векторные стороны:

   • \( A_1A_2 = (-3, 4, -6) \)
   • \( A_1A_3 = A_3 - A_1 = (-7 - 2, -3 - 1, 2 - 4) = (-9, -4, -2) \)

2. Вычислим векторное произведение: \[ A_1A_2 \times A_1A_3 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 4 & -6 \\ -9 & -4 & -2 \end{vmatrix} \] \[ = \mathbf{i}(4 \cdot (-2) - (-6)(-4)) - \mathbf{j}((-3)(-2) - (-6)(-9)) + \mathbf{k}((-3)(-4) - (4)(-9)) \] \[ = \mathbf{i}(-8 - 24) - \mathbf{j}(6 - 54) + \mathbf{k}(12 + 36) = \mathbf{i}(-32) - \mathbf{j}(-48) + \mathbf{k}(48) \] \[ = (-32, 48, 48) \]

3. Найдём модуль векторного произведения: \[ |A_1A_2 \times A_1A_3| = \sqrt{(-32)^2 + 48^2 + 48^2} = \sqrt{1024 + 2304 + 2304} = \sqrt{5632} = 8\sqrt{88} \]

4. Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} |A_1A_2 \times A_1A_3| = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{88} = 4\sqrt{88} \]

В) Объем пирамиды

Объем V вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} S \cdot h \] где \( h \) — высота из точки \( A_4 \) на основание \( A_1A_2A_3 \), которую мы найдем позднее.

Г) Уравнение плоскости (A1A2A3)

Уравнение плоскости можно определить по формуле: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] где \( (A, B, C) \) — коэффициенты нормали, а \( D \) можно получить, подставив координаты любой из точек.

Используем векторное произведение, чтобы получить нормаль: \[ (A, B, C) = (-32, 48, 48) \]

Плоскость в общем виде: \(-32x + 48y + 48z + D = 0\)

Найдем \( D \), подставляя координаты, например, точки \( A_1(2, 1, 4) \): \[ D = 32 \cdot 2 - 48 \cdot 1 - 48 \cdot 4 \] \[ D = 64 - 48 - 192 = -176 \]

Таким образом, уравнение плоскости: \(-32x + 48y + 48z - 176 = 0\)

Д) Длина высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3

Эта высота \( h \) равна отношению объема пирамиды к площади основания: \[ h = \frac{3V}{S} \]

Е) Длина медианы A1 к ребру A3A4 грани A1A3A4

Найдем точку середины отрезка \( A3A4 \): \[ M = \left( \frac{-7 + -6}{2}, \frac{-3 + -3}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right) = \left( -6.5, -3, 4 \right) \]

Теперь найдем расстояние \( A1M \): \[ AM = \sqrt{(2 + 6.5)^2 + (1 + 3)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{(8.5)^2 + (4)^2} = \sqrt{72.25 + 16} = \sqrt{88.25} \]

Ответы

• Угол между векторами A1A2 и A1A4: \(\theta = \arccos\left(\frac{-2}{\sqrt{1281}}\right)\)
• Площадь грани A1A2A3: \( 4\sqrt{88} \)
• Объем пирамиды: \(\frac{1}{3} S \cdot h\)
• Уравнение плоскости А1А2А3: \(-32x + 48y + 48z - 176 = 0\)
• Длина высоты†: \( h = \frac{3V}{S} \) (необходится более данных для вычисления объёма)
• Длина медианы A1 к ребру A3A4: \( \sqrt{88.25} \)