решить
Для решения каждого пункта задачи, воспользуемся основными понятиями векторной алгебры.
Постройте угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Чтобы построить угол между двумя векторами, нужно воспользоваться формулой для косинуса угла \(\theta\) между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
\[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \]
Где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) — скалярное произведение векторов, а \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — их длины. Без конкретных координат векторов, буквального вычисления косинуса угла сделать нельзя, однако нужно помнить общий подход.
Диагонали квадрата \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Найдите угол между векторами:
а) \(\vec{DB}\) и \(\vec{BC}\)
Учитывая симметрию квадрата, вектор \(\vec{BC}\) перпендикулярен вектору \(\vec{DB}\), так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и равны. Следовательно, угол между ними \(90^\circ\).
б) \(\vec{DB}\) и \(\vec{OD}\)
В точке пересечения диагоналей они делятся пополам, значит \(\vec{OD}\) является половиной \(\vec{DB}\). Поскольку это один и тот же вектор, угол между ними \(0^\circ\).
Вычислите скалярное произведение векторов, если \(|\vec{a}| = 6\), угол между ними равен \(30^\circ\).
Используем формулу скалярного произведения:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \]
Подставляем значения: \(\theta = 30^\circ\) и \(|\vec{a}| = 6\).
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 30^\circ = 6 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} |\vec{b}| \]
Если длина вектора \(\vec{b}\) не дана, численное значение найти невозможно, но выражение для скалярного произведения известно.
Дана вектора \(\vec{a}\) = \(1;3;-4\), \(\vec{b}\) = \(-2; 0; 3\). Найдите скалярное произведение векторов.
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-2) + (3)(0) + (-4)(3) \] \[ = -2 + 0 - 12 = -14 \]
Скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно \(-14\).
