Площадь боковой поверхности конуса относится к площади основания как 5 к 3 найдитк площадь полной поверхности конуса если его высота 12

Обозначим площадь основания конуса как \( S_{\text{осн}} \), а площадь боковой поверхности как \( S_{\text{бок}} \). По условию задачи мы знаем, что \[ \frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{осн}}} = \frac{5}{3}. \] Площадь полной поверхности конуса \( S_{\text{пол}} \) выражается как сумма площади основания и площади боковой поверхности: \[ S_{\text{пол}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}. \] Из условия пропорции можно выразить площадь боковой поверхности через площадь основания: \[ S_{\text{бок}} = \frac{5}{3} S_{\text{осн}}. \] Теперь подставим это в формулу для полной поверхности: \[ S_{\text{пол}} = S_{\text{осн}} + \frac{5}{3} S_{\text{осн}} = S_{\text{осн}} \left(1 + \frac{5}{3}\right) = S_{\text{осн}} \cdot \frac{8}{3}. \] Теперь найдем площадь основания \( S_{\text{осн}} \). Площадь основания конуса равна \[ S_{\text{осн}} = \pi r^2, \] где \( r \) — радиус основания. Для нахождения радиуса воспользуемся формулой для боковой поверхности. Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по формуле: \[ S_{\text{бок}} = \pi r l, \] где \( l \) — образующая конуса, которую можно найти по теореме Пифагора: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2}, \] где \( h \) — высота конуса (в данном случае \( h = 12 \)). Теперь подставим эти выражения в уравнение для площади боковой поверхности: \[ \pi r l = \frac{5}{3} \pi r^2. \] Сократим на \( \pi r \) (при \( r \neq 0 \)): \[ l = \frac{5}{3} r. \] Теперь подставим \( l \) в уравнение для образующей: \[ \sqrt{r^2 + h^2} = \frac{5}{3} r. \] Квадрат обеих сторон дает: \[ r^2 + h^2 = \left(\frac{5}{3} r\right)^2, \] \[ r^2 + 144 = \frac{25}{9} r^2. \] Перепишем уравнение: \[ \frac{25}{9} r^2 - r^2 = 144. \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{25r^2 - 9r^2}{9} = 144, \] \[ \frac{16r^2}{9} = 144. \] Умножим обе стороны на 9: \[ 16r^2 = 1296, \] \[ r^2 = 81, \] \[ r = 9. \] Теперь подставим значение \( r \) обратно в формулу для площади основания: \[ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \cdot 9^2 = 81\pi. \] Теперь найдем площадь боковой поверхности: \[ S_{\text{бок}} = \frac{5}{3} S_{\text{осн}} = \frac{5}{3} \cdot 81\pi = 135\pi. \] Теперь можем найти полную площадь: \[ S_{\text{пол}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 81\pi + 135\pi = 216\pi. \] Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна \( 216\pi \).