На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и P так, что BM : MC = 2 : 5, CP : PD = 3 : 1. Выразите вектор MP через векторы AB = а и AD = b.
Для решения данной задачи начнём с анализа параллелограмма ABCD и наших условий.
Обозначение векторов:
- Пусть вектор \( \vec{AB} = \vec{a} \) и вектор \( \vec{AD} = \vec{b} \).
- Тогда, по свойствам параллелограмма, получаем:
- \( \vec{C} = \vec{A} + \vec{a} + \vec{b} \)
- \( \vec{D} = \vec{A} + \vec{b} \)
Координаты точек M и P:
Точка \( M \) делит отрезок \( BC \) в отношении \( BM : MC = 2 : 5 \). Таким образом, можно выразить вектор \( \vec{M} \): \[ \vec{M} = \frac{5}{2+5} \vec{B} + \frac{2}{2+5} \vec{C} \] Подставляя \( \vec{B} = \vec{A} + \vec{b} \) и \( \vec{C} = \vec{A} + \vec{a} + \vec{b} \): \[ \vec{M} = \frac{5}{7} (\vec{A} + \vec{b}) + \frac{2}{7} (\vec{A} + \vec{a} + \vec{b}) = \frac{5}{7}(\vec{A} + \vec{b}) + \frac{2}{7}(\vec{A} + \vec{a} + \vec{b}) \] Раскроем скобки: \[ \vec{M} = \frac{5}{7}\vec{A} + \frac{5}{7}\vec{b} + \frac{2}{7}\vec{A} + \frac{2}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b} = \frac{(5 + 2)}{7}\vec{A} + \frac{(5 + 2)}{7}\vec{b} + \frac{2}{7}\vec{a} \] Таким образом: \[ \vec{M} = \frac{7}{7}\vec{A} + \frac{7}{7}\vec{b} + \frac{2}{7}\vec{a} = \vec{A} + \vec{b} + \frac{2}{7}\vec{a} = \vec{B} + \frac{2}{7}\vec{a} \]
Теперь рассмотрим точку \( P \), которая делит отрезок \( CD \) в отношении \( CP : PD = 3 : 1 \): \[ \vec{P} = \frac{1}{3 + 1} \vec{C} + \frac{3}{3 + 1} \vec{D} \] Подставляем \( \vec{C} \) и \( \vec{D} \): \[ \vec{P} = \frac{1}{4} (\vec{A} + \vec{a} + \vec{b}) + \frac{3}{4} (\vec{A} + \vec{b}) = \frac{1}{4} (\vec{A} + \vec{a} + \vec{b}) + \frac{3}{4} \vec{A} + \frac{3}{4} \vec{b} \] Раскрываем скобки: \[ \vec{P} = \frac{1}{4}\vec{A} + \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{A} + \frac{3}{4}\vec{b} \] Объединим векторы: \[ \vec{P} = \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \right)\vec{A} + \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \right)\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{a} = \vec{A} + \vec{b} + \frac{1}{4}\vec{a} \]
Вычисление вектора \( \vec{MP} \): Теперь, чтобы получить вектор \( \vec{MP} \), используем разность векторов: \[ \vec{MP} = \vec{P} - \vec{M} \] Подставляем наши выражения для \( \vec{P} \) и \( \vec{M} \): \[ \vec{MP} = \left( \vec{A} + \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{a} \right) - \left( \vec{B} + \frac{2}{7}\vec{a} \right) \] Учитываем \( \vec{B} = \vec{A} + \vec{b} \): \[ \vec{MP} = \left( \vec{A} + \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{a} \right) - \left( \vec{A} + \vec{b} + \frac{2}{7}\vec{a} \right) \] Это упростится до: \[ \vec{MP} = \frac{1}{4}\vec{a} - \frac{2}{7}\vec{a} = \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{7} \right) \vec{a} \] Для вычисления выражения \( \frac{1}{4} - \frac{2}{7} \): Находим общий знаменатель (28): \[ \frac{1 \cdot 7}{28} - \frac{2 \cdot 4}{28} = \frac{7 - 8}{28} = \frac{-1}{28} \] Таким образом, получаем: \[ \vec{MP} = -\frac{1}{28}\vec{a} \]
Следовательно, вектор \( MP \) можно выразить следующим образом: \[ \vec{MP} = -\frac{1}{28} \vec{a} \] Это и будет нашим окончательным ответом.
