Найти площадь фигуры ограниченной графиком функции у=1-х2, у=0
Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции \( y = 1 - x^2 \) и осью \( y = 0 \), нужно сначала найти точки пересечения графика функции и оси \( x \).
Решим уравнение: \[ 1 - x^2 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = -1 \text{ и } x = 1 \]
Фигура, ограниченная графиком функции и осью \( x \), находится между \( x = -1 \) и \( x = 1 \).
Теперь для нахождения площади, будем интегрировать функцию \( y = 1 - x^2 \) от \( x = -1 \) до \( x = 1 \):
\[ S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx \]
Вычислим интеграл:
\[ S = \int_{-1}^{1} 1 \, dx - \int_{-1}^{1} x^2 \, dx \]
Теперь посчитаем каждый из интегралов:
Первый интеграл: \[ \int_{-1}^{1} 1 \, dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2 \]
Второй интеграл: \[ \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]
Теперь подставим результаты в выражение для площади:
\[ S = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = 1 - x^2 \) и осью \( y = 0 \), равна \(\frac{4}{3}\) квадратных единиц.
