Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции ( y = 1 - x^2 ) и осью ( y = 0 ), нужно сначала найти точки пересечения графика функции и оси ( x ).
Решим уравнение:
[
1 - x^2 = 0
]
[
x^2 = 1
]
[
x = -1 \text{ и } x = 1
]
Фигура, ограниченная графиком функции и осью ( x ), находится между ( x = -1 ) и ( x = 1 ).
Теперь для нахождения площади, будем интегрировать функцию ( y = 1 - x^2 ) от ( x = -1 ) до ( x = 1 ):
[
S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) , dx
]
Вычислим интеграл:
[
S = \int_{-1}^{1} 1 , dx - \int_{-1}^{1} x^2 , dx
]
Теперь посчитаем каждый из интегралов:
Первый интеграл:
[
\int_{-1}^{1} 1 , dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2
]
Второй интеграл:
[
\int_{-1}^{1} x^2 , dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
]
Теперь подставим результаты в выражение для площади:
[
S = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}
]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = 1 - x^2 ) и осью ( y = 0 ), равна (\frac{4}{3}) квадратных единиц.
