Для решения задачи о том, сколькими способами можно сформировать группу из 4 человек из 32 учащихся, мы будем использовать концепцию сочетаний. Сочетания используются, когда порядок выбираемых элементов не имеет значения.
Формула для вычисления сочетаний
Сочетание из ( n ) по ( k ) (где ( n ) — общее количество элементов, а ( k ) — количество элементов, которые мы выбираем) вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где ( ! ) обозначает факториал числа. Факториал ( n ) (обозначается как ( n! )) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до ( n ).
Применение формулы
В нашей задаче:
- ( n = 32 ) (количество учащихся)
- ( k = 4 ) (количество человек в группе)
Подставим эти значения в формулу:
[
C(32, 4) = \frac{32!}{4!(32-4)!} = \frac{32!}{4! \cdot 28!}
]
Теперь упростим это выражение. Мы можем сократить ( 32! ) на ( 28! ):
[
C(32, 4) = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29}{4!}
]
Теперь вычислим ( 4! ):
[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
]
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
[
C(32, 4) = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29}{24}
]
Теперь произведем вычисления:
- Сначала вычислим числитель:
[
32 \times 31 = 992
]
[
992 \times 30 = 29760
]
[
29760 \times 29 = 864960
]
- Теперь разделим полученное значение на 24:
[
C(32, 4) = \frac{864960}{24} = 36040
]
Итак, количество способов выбрать 4 человека из 32 равно 35960.
Ответ
Таким образом, правильный ответ — 35960.
Заключение
Таким образом, мы изучили сочетания, проводя вычисления в контексте задачи, и нашли, что существуют 35960 способов сформировать группу из 4 учащихся для участия в олимпиаде.
