Решить

Давайте решим задачу по геометрии, в которой высота, проведённая из прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 30 см и 35 см.

Имеем прямоугольный треугольник ERD с гипотенузой ED и высотой RK из прямого угла, делящей гипотенузу на отрезки EK = 30 см и KD = 35 см.

Нам нужно найти длину высоты RK.

Шаги решения:

1. Использование свойства высоты в прямоугольном треугольнике:

   В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу:

   \[ RK = \sqrt{EK \cdot KD} \]

2. Подставим значения в формулу:

   \[ RK = \sqrt{30 \cdot 35} \]

3. Вычислим произведение:

   \[ 30 \cdot 35 = 1050 \]

4. Найдём квадратный корень:

   \[ RK = \sqrt{1050} \]

5. Упростим выражение под корнем:

   Разложим 1050 на простые множители:

   \[ 1050 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \]

   Извлекаем корень из квадрата:

   \[ RK = 5 \cdot \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 7} = 5 \cdot \sqrt{42} \]

6. Вывод:

   Высота RK равна \( 5\sqrt{42} \).

Таким образом, правильный ответ — \( 5\sqrt{42} \), что соответствует варианту ответа в задаче.