Для того чтобы найти производную функции ( y = (x^3 + 1)(x^2 - 1) ), воспользуемся правилом произведения. Правило произведения гласит, что если у нас есть два дифференцируемых выражения ( u ) и ( v ), то производная их произведения ( y = uv ) вычисляется по формуле:
[
y' = u'v + uv'
]
где ( u' ) и ( v' ) — это производные функций ( u ) и ( v ) соответственно. В нашей функции:
- ( u = x^3 + 1 )
- ( v = x^2 - 1 )
Теперь начнём с нахождения производных ( u' ) и ( v' ).
1. Находим ( u' ):
[
u' = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2 + 0 = 3x^2
]
2. Находим ( v' ):
[
v' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x - 0 = 2x
]
3. Подставляем ( u ), ( v ), ( u' ) и ( v' ) в формулу производной:
Теперь мы можем подставить найденные значения в формулу производной:
[
y' = u'v + uv'
]
Подставляем сюда ( u ) и ( v ):
[
y' = (3x^2)(x^2 - 1) + (x^3 + 1)(2x)
]
4. Упростим каждый из двух членов:
Первый член:
[
(3x^2)(x^2 - 1) = 3x^4 - 3x^2
]
Второй член:
[
(x^3 + 1)(2x) = 2x^4 + 2x
]
5. Сложим оба выражения:
Теперь сложим оба результата:
[
y' = (3x^4 - 3x^2) + (2x^4 + 2x)
]
Объединим подобные члены:
[
y' = (3x^4 + 2x^4) + 2x - 3x^2 = 5x^4 - 3x^2 + 2x
]
6. Итоговое решение:
Таким образом, производная функции ( y = (x^3 + 1)(x^2 - 1) ) будет равна:
[
y' = 5x^4 - 3x^2 + 2x
]
Если у тебя возникнут дополнительные вопросы по производным или другим темам, не стесняйся спрашивать!
