4x⁴+4x²-15=0
Чтобы решить уравнение \(4x^4 + 4x^2 - 15 = 0\), начнем с упрощения и анализа данной задачи.
Шаг 1: Замена переменной
Мы заметим, что у нас есть \(x^4\) и \(x^2\), что позволяет сделать замену переменной. Пусть: \[ y = x^2 \] Тогда \(x^4\) можно выразить через \(y\): \[ x^4 = (x^2)^2 = y^2 \]
Теперь подставим \(y\) в уравнение: \[ 4y^2 + 4y - 15 = 0 \]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Теперь мы имеем квадратное уравнение \(4y^2 + 4y - 15 = 0\). Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений: \[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \] где \(a = 4\), \(b = 4\) и \(c = -15\).
Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 16 + 240 = 256 \]
Подставим значения в формулу: \[ y = \frac{{-4 \pm \sqrt{256}}}{2 \cdot 4} = \frac{{-4 \pm 16}}{8} \]
Это дает нам два значения для \(y\): \[ y_1 = \frac{{12}}{8} = \frac{3}{2} \] \[ y_2 = \frac{{-20}}{8} = -\frac{5}{2} \]
Шаг 3: Обратная замена
Теперь вспомним, что \(y = x^2\). Поскольку \(y_2 = -\frac{5}{2}\) не может быть решено в действительных числах (так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным), оставим только \(y_1 = \frac{3}{2}\).
Теперь вернемся к \(x\): \[ x^2 = \frac{3}{2} \]
Шаг 4: Найдем \(x\)
Чтобы найти \(x\), нужно извлечь квадратный корень: \[ x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \]
Ответ
Таким образом, у нашего уравнения \(4x^4 + 4x^2 - 15 = 0\) два действительных корня: \[ x = \frac{\sqrt{6}}{2} \quad \text{и} \quad x = -\frac{\sqrt{6}}{2} \]
Эти два значения и являются решением.
