Есть поле, разделённое на две половины: левую и правую. Изначально на левой лежит 𝑎 камней, а на правой — 𝑏 камней. Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым ходит Юра. Игрок в свой ход должен переложить с одной половины поля на другую один или несколько камней, причём больше, чем соперник переложил на предыдущем ходу (первым ходом можно переложить любое количество камней, большее 0). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Рассмотрим все пары натуральных чисел (𝑎, 𝑏) такие, что 1 ⩽ 𝑎 ⩽ 10 и 1 ⩽ 𝑏 ⩽ 10. Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию? (Если числа 𝑎 и 𝑏 различны, то пары (𝑎, 𝑏) и (𝑏, 𝑎) считаются различными.)

Для решения задачи давайте разберём возможные ходы в игре, которую описали, и определим, при каких условиях Юра может выиграть. **Основные моменты игры:** - На левом поле 𝑎 камней, на правом — 𝑏. - Игрок в свой ход должен переложить с одной стороны на другую больше камней, чем положил соперник на предыдущем ходе. - Юра начинает первым и может вывести любую стратегию. **Анализ:** 1. **Первый ход Юры:** Юра имеет возможность положить любое количество камней (1, 2, ..., 𝑎 + 𝑏), но только больше нуля. 2. **На каждый последующий ход:** игрок должен положить камней больше, чем положил соперник на предыдущем ходе. Если мы рассмотрим все возможные стартовые позиции (𝑎, 𝑏) для 1 ≤ 𝑎, 𝑏 ≤ 10, мы можем заметить, что от того, сколько камней на каждой стороне в начале, зависят дальнейшие ходы. **Определение выигрышной стратегии для Юры:** 1. Если 𝑎 = 𝑏, то при оптимальной игре Яши, Юра будет находиться в невыгодном положении. 2. Если 𝑎 ≠ 𝑏, то Юра может сначала сделать ход, чтобы уравновесить количество камней на обеих сторонах (возможно, убрав пару камней так, чтобы они стали равными), или же перевести своё количество побольше, чтобы не дать возможности Яше ответить эффективно. Таким образом, можно обобщить следующие условия: - **Юра выигрывает:** когда 𝑎 ≠ 𝑏, так как он может работать с преимуществом. - **Юра проигрывает:** когда 𝑎 = 𝑏. Теперь подсчитаем количество пар (𝑎, 𝑏) для 1 ≤ 𝑎, 𝑏 ≤ 10. Всего возможных пар (𝑎, 𝑏) = 10 * 10 = 100. Из них пары (𝑎, 𝑏), где 𝑎 = 𝑏: - (1, 1) - (2, 2) - (3, 3) - (4, 4) - (5, 5) - (6, 6) - (7, 7) - (8, 8) - (9, 9) - (10, 10) Всего таких пар: 10. Итак, количество пар (𝑎, 𝑏), в которых Юра имеет выигрышную стратегию: \[ 100 - 10 = 90. \] **Ответ:** Юра имеет выигрышную стратегию для 90 из 100 пар (𝑎, 𝑏).