описать функции и расписать всю информацию о ней у=-3х²+х+5

Чтобы понять функцию \( u = -3x^2 + x + 5 \), разберем ее шаг за шагом.

1. Определение функции

Функция \( u(x) = -3x^2 + x + 5 \) — это квадратичная функция, поскольку её высший степень (степень переменной \( x \)) равна 2.

2. Основные характеристики квадратичной функции

Для анализа квадратичной функции можно использовать несколько ключевых характеристик:

a) Ветви параболы

Квадратичная функция имеет форму параболы. Если коэффициент перед \( x^2 \) (в данном случае -3) отрицательный, парабола будет направлена вниз.

b) Если бы функция была равна 0 (нулевой)

Чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, мы решим уравнение \( -3x^2 + x + 5 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = -3 \), \( b = 1 \), \( c = 5 \).

Подставим значения в формулу:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 5 = 1 + 60 = 61 \]

Поскольку \( D > 0 \), уравнение имеет два различных решения. Найдем корни с помощью формулы:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot -3} = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{-6} \]

Теперь можно рассчитать:

• \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{-6} \)
• \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{61}}{-6} \)

c) Вершина параболы

Координаты вершины параболы можно найти с помощью формулы:

\[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-3)} = \frac{1}{6} \]

Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим \( x_v \) обратно в функцию:

\[ u_v = -3 \left(\frac{1}{6}\right)^2 + \frac{1}{6} + 5 = -3 \cdot \frac{1}{36} + \frac{1}{6} + 5 \] \[ u_v = -\frac{1}{12} + \frac{1}{6} + 5 = -\frac{1}{12} + \frac{2}{12} + \frac{60}{12} = \frac{61}{12} \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{1}{6}, \frac{61}{12}\right)\).

d) Интервалы возрастания и убывания

• Функция убывает на интервале \( (-\infty, \frac{1}{6}) \)
• Функция возрастает на интервале \( (\frac{1}{6}, +\infty) \)

3. Заключение

Таким образом, функция \( u = -3x^2 + x + 5 \) представляет собой параболу, направленную вниз. У нее есть две точки пересечения с осью \( x \), вершина в \(\left(\frac{1}{6}, \frac{61}{12}\right)\) и она убывает до этой точки, а затем начинает возрастать.