Реши задачу а2+б2-16а+14б+114>0

Для решения неравенства \(a^2 + b^2 - 16a + 14b + 114 > 0\) мы можем использовать метод выделения квадратов. 1. **Выделение полного квадрата для переменной \(a\):** Рассмотрим часть уравнения, содержащую \(a\): \[ a^2 - 16a \] Выделим полный квадрат: \[ a^2 - 16a = (a - 8)^2 - 64 \] (Здесь \((a - 8)^2\) разворачивается как \(a^2 - 16a + 64\)) 2. **Выделение полного квадрата для переменной \(b\):** Теперь рассмотрим часть уравнения, содержащую \(b\): \[ b^2 + 14b \] Выделим полный квадрат: \[ b^2 + 14b = (b + 7)^2 - 49 \] (Здесь \((b + 7)^2\) разворачивается как \(b^2 + 14b + 49\)) 3. **Объединение всех частей:** Подставим выделенные квадратные выражения обратно в неравенство: \[ (a - 8)^2 - 64 + (b + 7)^2 - 49 + 114 > 0 \] Объединим константы: \[ (a - 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 > 0 \] 4. **Анализ неравенства:** Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, выражение \((a - 8)^2 + (b + 7)^2\) всегда больше или равно нулю. Следовательно, минимальное значение левой части — 1 (когда оба квадрата равны нулю, то есть \(a - 8 = 0\) и \(b + 7 = 0\)), что дает нам: \[ a = 8, \quad b = -7 \] Это единственная точка, где \((a - 8)^2 + (b + 7)^2 = 0\), и в этом случае левая часть равна \(1 > 0\). Таким образом, неравенство \((a - 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 > 0\) выполняется для всех \(a\) и \(b\). **Ответ:** Неравенство выполняется для всех значений \(a\) и \(b\).