В треугольнике ABC угол C равен 90°, Найдите AB

Для треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\), где \(\angle C = 90^\circ\), используем тригонометрические функции для нахождения гипотенузы \(AB\).

Из условия задачи даны:

• \(AC = 15\)
• \(\cos A = \frac{4}{5}\)

Формула косинуса для угла \(A\) в прямоугольном треугольнике:

\[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \]

Подставим известные значения в формулу:

\[ \frac{4}{5} = \frac{BC}{AB} \]

Также, по теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Давайте найдём \(BC\), используя косинус:

Так как \(BC = 4x\) и \(AB = 5x\), то \(\frac{4}{5} = \frac{BC}{AB}\) можно переписать как:

\[ 5BC = 4AB \]

Подставим в формулу Пифагора:

\[ (5x)^2 = 15^2 + (4x)^2 \]

\[ 25x^2 = 225 + 16x^2 \]

\[ 25x^2 - 16x^2 = 225 \]

\[ 9x^2 = 225 \]

\[ x^2 = 25 \]

\[ x = 5 \]

Теперь, найдём \(AB\):

\[ AB = 5x = 5 \times 5 = 25 \]

Таким образом, длина гипотенузы \(AB\) равна \(25\).