реши
Давайте разберем каждую из предложенных задач по шагам.
1. Найдите \( p(x) = p_1(x) + p_2(x) \), если \( p_1(x) = x^2 - 4x - 3 \), \( p_2(x) = 3x^2 + 2x + 5 \).
Решение:
\[ p(x) = p_1(x) + p_2(x) = (x^2 - 4x - 3) + (3x^2 + 2x + 5) \]
Теперь сложим подобные члены:
\[ p(x) = (x^2 + 3x^2) + (-4x + 2x) + (-3 + 5) \]
\[ p(x) = 4x^2 - 2x + 2 \]
2. Найдите \( p(x) = p_1(x) - p_2(x) \), если \( p_1(x) = 4x^2 + 3x - 2 \), \( p_2(x) = x^2 - 4x + 1 \).
Решение:
\[ p(x) = p_1(x) - p_2(x) = (4x^2 + 3x - 2) - (x^2 - 4x + 1) \]
Теперь вычтем подобные члены:
\[ p(x) = (4x^2 - x^2) + (3x + 4x) + (-2 - 1) \]
\[ p(x) = 3x^2 + 7x - 3 \]
3. Решите уравнение \((3x - 4)(2x + 5) = 42\).
Решение:
Раскроем скобки:
\[ (3x - 4)(2x + 5) = 6x^2 + 15x - 8x - 20 \]
\[ 6x^2 + 7x - 20 = 42 \]
Переносим 42 в левую сторону:
\[ 6x^2 + 7x - 62 = 0 \]
Для решения квадратного уравнения используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-62) \]
\[ D = 49 + 1488 = 1537 \]
Корни уравнения:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-7 \pm \sqrt{1537}}}{{12}} \]
4. Найдите \( p(x) = (x - 1)^2 \), если \( p(x) = (x,y,z) \), приравняйте к \( x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \).
Решение:
Раскроем скобки:
\[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \]
Теперь соотнесем \( p(x) \) с другими элементами. Данное условие менее ясно без полного контекста, поэтому предполагается проработка через не выделенные параметры.
5. Решите уравнение \( 3(y^2 - y - 5) - 2(y^2 + 4y - 3) = y^2 - 2y + 1 \).
Решение:
Раскроем скобки:
\[ 3y^2 - 3y - 15 - 2y^2 - 8y + 6 = y^2 - 2y + 1 \]
Упростим левую часть:
\[ y^2 - 11y - 9 = y^2 - 2y + 1 \]
Упрощаем:
\[ -11y - 9 = -2y + 1 \]
Переносим все на одну сторону:
\[ -11y + 2y = 1 + 9 \]
\[ -9y = 10 \Rightarrow y = -\frac{10}{9} \]
6. Решите уравнение \((1 + x) + (x^2 + x^3) + (x^4 + x^5) + \ldots + (x^{2012} + x^{2013}) = \frac{1-x^{2014}}{1-x}\), если возможно упростить через прогрессию.
Решение:
Это сумма геометрической прогрессии. Общий член прогрессии: \( x^n + x^{n+1} \).
Полная сумма выражений числителя также известна как сумма геометрической прогрессии от начала до конечного члена. Ответ уже приведен в результате, и его можно использовать напрямую, если \( x \neq 1 \).
Поскольку предложенные уравнения требуют больших вычислений для уточнения, решения других задач требуют контекста более точного описания и некоторых допущений для получения финальных результатов.
