найдите значение производной функции в точке x0: 1) y= tgx/3, x0=π/3 2) y= -3x⁴+6x²-14, x0=1/3 3) y= -3cosx+x, x0=-π/6 4) y= 3x³-6x²+7, x0=-2/3

Давайте разберем каждую из задач по шагам и найдем значение производной функции в указанной точке \( x_0 \).

1) \( y = \tan\left(\frac{x}{3}\right), \, x_0 = \frac{\pi}{3} \)

Шаг 1: Найдем производную функции.
Используем правило производной для функции \( \tan(u) \), где \( u = \frac{x}{3} \): \[ \frac{dy}{dx} = \sec^2\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{3}\right) = \sec^2\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} \] Таким образом, производная будет: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \sec^2\left(\frac{x}{3}\right) \]

Шаг 2: Подставим \( x_0 = \frac{\pi}{3} \): \[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{x = \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{3} \sec^2\left(\frac{\frac{\pi}{3}}{3}\right) = \frac{1}{3} \sec^2\left(\frac{\pi}{9}\right) \]

Шаг 3: Значение \( \sec^2\left(\frac{\pi}{9}\right) \) можно оставить в таком виде, так как оно не имеет простого числового значения.

Ответ: \( \frac{1}{3} \sec^2\left(\frac{\pi}{9}\right) \)

2) \( y = -3x^4 + 6x^2 - 14, \, x_0 = \frac{1}{3} \)

Шаг 1: Найдем производную функции. \[ \frac{dy}{dx} = -12x^3 + 12x \]

Шаг 2: Подставим \( x_0 = \frac{1}{3} \): \[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{x = \frac{1}{3}} = -12\left(\frac{1}{3}\right)^3 + 12\left(\frac{1}{3}\right) = -12\left(\frac{1}{27}\right) + 12\left(\frac{1}{3}\right) \] \[ = -\frac{12}{27} + \frac{12}{3} = -\frac{4}{9} + 4 = -\frac{4}{9} + \frac{36}{9} = \frac{32}{9} \]

Ответ: \( \frac{32}{9} \)

3) \( y = -3\cos(x) + x, \, x_0 = -\frac{\pi}{6} \)

Шаг 1: Найдем производную функции. \[ \frac{dy}{dx} = 3\sin(x) + 1 \]

Шаг 2: Подставим \( x_0 = -\frac{\pi}{6} \): \[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{x = -\frac{\pi}{6}} = 3\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 1 = 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{3}{2} + \frac{2}{2} = -\frac{1}{2} \]

Ответ: \( -\frac{1}{2} \)

4) \( y = 3x^3 - 6x^2 + 7, \, x_0 = -\frac{2}{3} \)

Шаг 1: Найдем производную функции. \[ \frac{dy}{dx} = 9x^2 - 12x \]

Шаг 2: Подставим \( x_0 = -\frac{2}{3} \): \[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{x = -\frac{2}{3}} = 9\left(-\frac{2}{3}\right)^2 - 12\left(-\frac{2}{3}\right) \] \[ = 9 \cdot \frac{4}{9} + 12 \cdot \frac{2}{3} = 4 + 8 = 12 \]

Ответ: \( 12 \)

Таким образом, мы получили значения производных для всех функций в соответствующих точках.