Даны векторы

Давайте разберём задачи одна за другой.

Задача 1: Скалярное произведение векторов

Даны векторы:

\(\vec{c} = (3, -1)\) и \(\vec{d} = (4, 5)\).

Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) и \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) вычисляется по формуле:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2 \]

Решение:

\[ \vec{c} \cdot \vec{d} = 3 \times 4 + (-1) \times 5 = 12 - 5 = 7 \]

Задача 2: Скалярное произведение векторов

Даны векторы:

\(\vec{e} = (1, 2)\) и \(\vec{f} = (-3, 4)\).

Решение:

\[ \vec{e} \cdot \vec{f} = 1 \times (-3) + 2 \times 4 = -3 + 8 = 5 \]

Задача 3: Длина вектора

Даны векторы:

\(\vec{c} = (2, -4)\), \(\vec{d} = (5, 1)\), \(\vec{e} = (-2, 3)\).

Вектор \(\vec{a} + \vec{b}\) складывается покомпонентно:
\((a1 + b1, a2 + b2)\)

Длина вектора \(\vec{v} = (x, y)\) вычисляется по формуле:
\[ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Решение:

Сначала складываем векторы: \[\vec{c} + \vec{d} + \vec{e} = (2 + 5 - 2, -4 + 1 + 3) = (5, 0)\]

Теперь находим длину: \[ |\vec{c} + \vec{d} + \vec{e}| = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5 \]

Задача 4: Длина вектора

Даны векторы:

\(\vec{c} = (-1, 2)\), \(\vec{d} = (3, -3)\), \(\vec{f} = (1, -1)\).

Решение:

Сначала складываем векторы: \[\vec{c} + \vec{d} + \vec{f} = (-1 + 3 + 1, 2 - 3 - 1) = (3, -2)\]

Теперь находим длину: \[ |\vec{c} + \vec{d} + \vec{f}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \]

Если нужны дополнительные объяснения по конкретной задаче, дайте знать!