Даны векторы

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов и длину вектора, следуем следующим шагам: ### 1. Скалярное произведение **Формула:** \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \] #### Скалярное произведение \(\vec{c} \cdot 2\vec{d}\) - Векторы: - \(\vec{c} = (3; -1)\) - \(\vec{d} = (4; 5; 1)\) Шаги: 1. Найдите \(\vec{d} \times 2\): \[ 2\vec{d} = 2 \times (4; 5; 1) = (8; 10; 2) \] 2. Найдите скалярное произведение \(\vec{c} \cdot 2\vec{d}\): \[ \vec{c} \cdot 2\vec{d} = 3 \times 8 + (-1) \times 10 + 0 \times 2 = 24 - 10 = 14 \] ### 2. Длина вектора **Формула длины вектора \(\vec{v}\):** \[ |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \] #### Длина вектора \(\vec{c} - \vec{d} + \vec{e}\) - Векторы: - \(\vec{c} = (3; -1)\) - \(\vec{d} = (2; 4; 3)\) - \(\vec{e} = (4; 3; 3)\) Шаги: 1. Найдите \(\vec{c} - \vec{d} + \vec{e}\): \[ \vec{c} - \vec{d} + \vec{e} = (3; -1; 0) - (2; 4; 3) + (4; 3; 3) = (3-2+4; -1-4+3; 0-3+3) = (5; -2; 0) \] 2. Найдите длину вектора: \[ |\vec{c} - \vec{d} + \vec{e}| = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \] Таким образом, скалярное произведение \(\vec{c} \cdot 2\vec{d} = 14\), а длина вектора \(\vec{c} - \vec{d} + \vec{e}\) равна \(\sqrt{29}\).