Даны векторы

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов и длину вектора, следуем следующим шагам:

1. Скалярное произведение

Формула:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \]

Скалярное произведение \(\vec{c} \cdot 2\vec{d}\)

• Векторы:
  • \(\vec{c} = (3; -1)\)
  • \(\vec{d} = (4; 5; 1)\)

Шаги:

1. Найдите \(\vec{d} \times 2\):

\[ 2\vec{d} = 2 \times (4; 5; 1) = (8; 10; 2) \]

2. Найдите скалярное произведение \(\vec{c} \cdot 2\vec{d}\):

\[ \vec{c} \cdot 2\vec{d} = 3 \times 8 + (-1) \times 10 + 0 \times 2 = 24 - 10 = 14 \]

2. Длина вектора

Формула длины вектора \(\vec{v}\):

\[ |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \]

Длина вектора \(\vec{c} - \vec{d} + \vec{e}\)

• Векторы:
  • \(\vec{c} = (3; -1)\)
  • \(\vec{d} = (2; 4; 3)\)
  • \(\vec{e} = (4; 3; 3)\)

Шаги:

1. Найдите \(\vec{c} - \vec{d} + \vec{e}\):

\[ \vec{c} - \vec{d} + \vec{e} = (3; -1; 0) - (2; 4; 3) + (4; 3; 3) = (3-2+4; -1-4+3; 0-3+3) = (5; -2; 0) \]

2. Найдите длину вектора:

\[ |\vec{c} - \vec{d} + \vec{e}| = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \]

Таким образом, скалярное произведение \(\vec{c} \cdot 2\vec{d} = 14\), а длина вектора \(\vec{c} - \vec{d} + \vec{e}\) равна \(\sqrt{29}\).