Первая из двух окружностей проходит через центр второй окружности и пересекает ее в точках A и B . Касательная к первой окружности, проходящая через точку A делит вторую…

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с того, что будем использовать некоторые геометрические свойства окружностей и пропорции.

1. Определяем окружности и точки.
   Обозначим первую окружность как \( O_1 \) и вторую окружность как \( O_2 \). Пусть \( O_1 \) имеет радиус \( R_1 \), а \( O_2 \) имеет радиус \( R_2 \). Из условия видно, что окружность \( O_1 \) проходит через центр окружности \( O_2 \), следовательно, центр окружности \( O_2 \) обозначим как \( O \) и находится на расстоянии \( R_1 \) от центра окружности \( O_1 \).

2. Касательная к окружности \( O_1 \).
   Касательная к окружности \( O_1 \), проходящая через точку \( A \), будет перпендикулярна радиусу \( O_1A \) и касается окружности в этой точке.

3. Отношение деления окружности \( O_2 \).
   Дано, что эта касательная делит окружность \( O_2 \) в отношении \( 12:19 \). Обозначим точки пересечения касательной с окружностью \( O_2 \) как \( C \) и \( D \). Это означает, что \( AC \) и \( AD \) делят окружность \( O_2 \) так, что длина дуги \( CD \) относительно \( O \) делится в этом отношении.

4. Поиск отношения деления первой окружности через точки пересечения.
   Чтобы выяснить, в каком отношении окружность \( O_2 \) делит окружность \( O_1 \), нам необходимо провести анализ. Мы знаем, что касательные к окружностям определяют определенные углы.

   Скажем, что точка \( A \) следует из касательной, а точки \( B \), которая является также точкой нормали, соединяют эти две окружности. Чтобы найти отношение, в котором вторая окружность делит первую, мы учитываем, что данное отношение (12:19) также задает углы, образованные этими точками и центрами окружностей.

5. Используем свойства касательной и углы.
   Так как точки \( A \) и \( B \) являются очень важными для определения угла и используя свойства секущих и касательных (теорема о секущей и касательной), мы можем заключить, что углы, соответствующие частям окружностей, будут также соотноситься между собой.

   Таким образом, если одна из частей окружностей \( O_2 \) делится в отношении 12:19, то вторая окружность ( \( O_1 \) ) делится в обратном отношении над этой секущей: меньшая часть равна \( 12 \) (это окружность \( O_1 \) касается секущей), а большая ‒ \( 19 \).

6. Записываем ответ.
   Следовательно, отношение меньшей дуги окружности \( O_1 \) к большей дуге будет \( 12:19 \).

Таким образом, ответ: 12:19.