реши неравенство 3 tgx + √3 ≥ 0
Чтобы решить неравенство \( 3 \tan x + \sqrt{3} \geq 0 \), следуем пошагово.
Шаг 1: Изолируем \( \tan x \)
Перепишем неравенство так, чтобы изолировать \( \tan x \):
\[ 3 \tan x \geq -\sqrt{3} \]
Теперь разделим обе части неравенства на 3 (поскольку 3 положительное число, знак неравенства не изменится):
\[ \tan x \geq -\frac{\sqrt{3}}{3} \]
Шаг 2: Определение углов
Мы знаем, что \( \tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \) соответствует углам, где тангенс равен этому значению. В тригонометрических функциях:
- Тангенс равен \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) в углах \( x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \) и \( x = \frac{11\pi}{6} + k\pi \), где \( k \) — любое целое число.
Шаг 3: Интервалы
Чтобы решить неравенство \( \tan x \geq -\frac{\sqrt{3}}{3} \), нужно определить промежутки, где тангенс больше или равен этому значению.
- Тангенс положителен в 1-м и 3-м квадрантах и отрицателен в 2-м и 4-м квадрантах.
- Значит, \( \tan x \) больше или равно \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) будет в следующих промежутках:
- От \( -\frac{\pi}{6} + k\pi \) до \( \frac{5\pi}{6} + k\pi \) (где \( k \) — целое число).
- И от \( \frac{11\pi}{6} + k\pi \) до \( \frac{3\pi}{2} + k\pi \) для \( k \) целых чисел.
Шаг 4: Запись общих решений
Таким образом, общее решение неравенства можно записать как:
\[ x \in \left[-\frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{5\pi}{6} + k\pi\right] \cup \left[\frac{11\pi}{6} + k\pi, \frac{3\pi}{2} + k\pi\right], \quad k \in \mathbb{Z} \]
Эти интервалы показывают все углы \( x \), для которых данное неравенство выполняется.
Заключение
Теперь вы знаете, как решать неравенства с тангенсом, и можете анализировать положение функции на единичной окружности для нахождения решений! Если есть вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать.
