Чтобы найти длины сторон прямоугольника, зная его периметр и площадь, мы можем использовать следующие формулы:
Периметр прямоугольника:
[ P = 2(a + b) ]
где ( a ) и ( b ) — длины сторон прямоугольника.
Площадь прямоугольника:
[ S = a \cdot b ]
В этой задаче мы знаем:
- Периметр ( P = 98 , \text{см} )
- Площадь ( S = 360 , \text{см}^2 )
Шаг 1: Найти выражение для одной из сторон
Сначала можем выразить ( b ) через ( a ) из формулы для периметра.
[
a + b = \frac{P}{2} = \frac{98}{2} = 49
]
Значит:
[
b = 49 - a
]
Шаг 2: Подставить в формулу для площади
Теперь подставим выражение для ( b ) в формулу для площади:
[
S = a \cdot b
]
Подставляем ( b ):
[
360 = a \cdot (49 - a)
]
Шаг 3: Преобразовать уравнение
Теперь упростим уравнение:
[
360 = 49a - a^2
]
Переносим все члены на одну сторону:
[
a^2 - 49a + 360 = 0
]
Шаг 4: Решить квадратное уравнение
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360
]
[
D = 2401 - 1440 = 961
]
Теперь находим корни уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{49 \pm 31}{2}
]
Итак, у нас два возможных значения для ( a ):
- ( a_1 = \frac{49 + 31}{2} = \frac{80}{2} = 40 )
- ( a_2 = \frac{49 - 31}{2} = \frac{18}{2} = 9 )
Шаг 5: Найти соответствующие значения для ( b )
Теперь найдем соответствующие значения для ( b ):
Если ( a = 40 ):
[
b = 49 - 40 = 9
]
Если ( a = 9 ):
[
b = 49 - 9 = 40
]
Ответ
Таким образом, длины сторон прямоугольника:
- ( a = 40 , \text{см} )
- ( b = 9 , \text{см} )
Окончательно, стороны прямоугольника равны 40 см и 9 см.
