\frac{x^{2}+12}{x-3}=\frac{7\,x}{x-3}

Для решения уравнения \[ \frac{x^{2}+12}{x-3}=\frac{7\,x}{x-3}, \] мы можем начать с того, что обе стороны уравнения имеют одинаковый знаменатель \(x - 3\). Это позволяет нам избавиться от знаменателя, но при условии, что \(x \neq 3\) (иначе дробь не определена). Итак, мы можем переписать уравнение, умножив обе стороны на \(x - 3\): \[ x^{2} + 12 = 7x. \] Теперь у нас есть квадратное уравнение. Переносим все элементы на одну сторону уравнения, чтобы привести его к стандартной форме: \[ x^{2} - 7x + 12 = 0. \] Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Рассмотрим коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 12\). Мы можем использовать дискриминант для нахождения корней уравнения. Дискриминант (\(D\)) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac. \] Подставляем значения: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1. \] Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у уравнения есть два различных действительных корня. Теперь находим корни по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \] Подставляем значения: \[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2}. \] Находим два корня: 1. \(x_1 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\). 2. \(x_2 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\). Однако, мы должны помнить, что при умножении мы отменили \(x - 3\) в знаменателе, и поэтому \(x = 3\) является недопустимым решением. Таким образом, единственным допустимым решением является: \[ \boxed{4}. \] Это значение можно подставить обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что оно является решением.