\frac{x^{2}+12}{x-3}=\frac{7\,x}{x-3}
Для решения уравнения
\[ \frac{x^{2}+12}{x-3}=\frac{7\,x}{x-3}, \]
мы можем начать с того, что обе стороны уравнения имеют одинаковый знаменатель \(x - 3\). Это позволяет нам избавиться от знаменателя, но при условии, что \(x \neq 3\) (иначе дробь не определена).
Итак, мы можем переписать уравнение, умножив обе стороны на \(x - 3\):
\[ x^{2} + 12 = 7x. \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Переносим все элементы на одну сторону уравнения, чтобы привести его к стандартной форме:
\[ x^{2} - 7x + 12 = 0. \]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Рассмотрим коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 12\).
Мы можем использовать дискриминант для нахождения корней уравнения. Дискриминант (\(D\)) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac. \]
Подставляем значения:
\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1. \]
Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у уравнения есть два различных действительных корня. Теперь находим корни по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставляем значения:
\[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2}. \]
Находим два корня:
\(x_1 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\).
\(x_2 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\).
Однако, мы должны помнить, что при умножении мы отменили \(x - 3\) в знаменателе, и поэтому \(x = 3\) является недопустимым решением.
Таким образом, единственным допустимым решением является:
\[ \boxed{4}. \]
Это значение можно подставить обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что оно является решением.
