Реши
Для того чтобы найти область определения функции \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3} \), необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:
\[ x^2 - 4x + 3 \geq 0. \]
Решим это квадратное неравенство. Для начала найдём корни соответствующего квадратного уравнения:
\[ x^2 - 4x + 3 = 0. \]
Эти корни можно найти с помощью формулы:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \).
Подставим значения:
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}. \]
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}. \]
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}. \]
\[ x = \frac{4 \pm 2}{2}. \]
Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3, \] \[ x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1. \]
Теперь у нас есть корни \( x = 1 \) и \( x = 3 \).
Квадратное неравенство \( x^2 - 4x + 3 \geq 0 \) будет решаться методом интервалов. Проверим знаки выражения на интервалах, которые получаются на основе найденных корней:
- \( (-\infty, 1) \),
- \( (1, 3) \),
- \( (3, +\infty) \).
На интервале \( (-\infty, 1) \): выберем \( x = 0 \).
\( f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3 \), знак «+».
На интервале \( (1, 3) \): выберем \( x = 2 \).
\( f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \), знак «-».
На интервале \( (3, +\infty) \): выберем \( x = 4 \).
\( f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 \), знак «+».
Знак меняется в точках \( x = 1 \) и \( x = 3 \). Так как нам нужно \( x^2 - 4x + 3 \geq 0 \), то область определения функции будет включать интервалы, где выражение неотрицательно:
\[ (-\infty, 1] \cup [3, +\infty). \]
Таким образом, правильный вариант ответа:
\[ x \leq 1 \quad \text{или} \quad x \geq 3. \]
