Давайте разберем каждую задачу по порядку.
1. Найдите длину отрезка АВ и координаты его середины, если А (-3; 2) и В (1; -5).
Длина отрезка:
Длину отрезка можно вычислить по формуле:
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
где ((x_1, y_1)) — координаты точки А, а ((x_2, y_2)) — координаты точки В.
Подставляем значения:
[
d = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \approx 8.06
]
Координаты середины:
Координаты середины отрезка определяются по формуле:
[
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
]
Подставляем значения:
[
M\left(\frac{-3 + 1}{2}; \frac{2 + (-5)}{2}\right) = M\left(\frac{-2}{2}; \frac{-3}{2}\right) = M(-1; -1.5)
]
2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке М (1; -3) и которая проходит через точку K (-4; 2).
Уравнение окружности с центром в точке (M(a, b)) и радиусом (r) записывается как:
[
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
]
Сначала найдем радиус (r), используя расстояние от центра до точки K:
[
r = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(1 + 4)^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
]
Теперь подставим в уравнение:
[
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = (5\sqrt{2})^2
]
[
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 50
]
3. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если A (-2; 3), B (4; 5), C (2; 1).
В параллелограмме противолежащие стороны равны и параллельны. Воспользуемся формулой:
[
D = A + C - B
]
Вычислим координаты:
[
D = (-2; 3) + (2; 1) - (4; 5) = (0; 4) - (4; 5) = (-4; -1)
]
4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки K (3; -2) и P (5; 2).
Для нахождения уравнения прямой нужно сначала найти её уклон (k):
[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-2)}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2
]
Теперь используем уравнение прямой в форме (y - y_1 = k(x - x_1)):
[
y + 2 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 6 - 2 \implies y = 2x - 8
]
5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек A (-2; 3) и B (6; 1).
Координаты точки, принадлежащей оси абсцисс, будут иметь вид (x; 0). Нам нужно решить уравнение равноудаленности:
[
\sqrt{(x + 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + (0 - 1)^2}
]
Решим это уравнение. Сначала квадратируем обе стороны:
[
(x + 2)^2 + 9 = (x - 6)^2 + 1
]
Раскрываем скобки:
[
x^2 + 4x + 4 + 9 = x^2 - 12x + 36 + 1
]
Сокращаем:
[
4x + 13 = -12x + 37
]
[
16x = 24 \implies x = 1.5
]
Следовательно, координаты точки: ((1.5; 0)).
6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой (y = -3x + 10) и проходит через центр окружности (x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0).
Сначала найдем центр окружности. Приведем уравнение к стандартному виду:
[
(x+1)^2 + (y-2)^2 = 4 \quad \text{(центр в точке } (-1; 2) \text{, радиус } 2\text{)}
]
Теперь у нас есть уклон данной прямой, (k = -3). Используем точку ((-1; 2)) и формулу:
[
y - 2 = -3(x + 1)
]
Раскроем скобки:
[
y - 2 = -3x - 3 \implies y = -3x - 1
]
Теперь все задачи решены. Если у вас есть вопросы по конкретным шагам или вам нужно что-то еще, дайте знать!
