онутКонтрольная работа № 3 Тема. Декартовы координаты Resheba.com 1. Найдите длину отрезка АВ и координаты его середины, если А (-3; 2) и В (1; -5). 2. Составьте уравнение…

Давайте разберем каждую задачу по порядку.

1. Найдите длину отрезка АВ и координаты его середины, если А (-3; 2) и В (1; -5).

Длина отрезка: Длину отрезка можно вычислить по формуле: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] где \((x_1, y_1)\) — координаты точки А, а \((x_2, y_2)\) — координаты точки В.

Подставляем значения: \[ d = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \approx 8.06 \]

Координаты середины: Координаты середины отрезка определяются по формуле: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Подставляем значения: \[ M\left(\frac{-3 + 1}{2}; \frac{2 + (-5)}{2}\right) = M\left(\frac{-2}{2}; \frac{-3}{2}\right) = M(-1; -1.5) \]

2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке М (1; -3) и которая проходит через точку K (-4; 2).

Уравнение окружности с центром в точке \(M(a, b)\) и радиусом \(r\) записывается как: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \] Сначала найдем радиус \(r\), используя расстояние от центра до точки K: \[ r = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(1 + 4)^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Теперь подставим в уравнение: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = (5\sqrt{2})^2 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 50 \]

3. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если A (-2; 3), B (4; 5), C (2; 1).

В параллелограмме противолежащие стороны равны и параллельны. Воспользуемся формулой: \[ D = A + C - B \] Вычислим координаты: \[ D = (-2; 3) + (2; 1) - (4; 5) = (0; 4) - (4; 5) = (-4; -1) \]

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки K (3; -2) и P (5; 2).

Для нахождения уравнения прямой нужно сначала найти её уклон \(k\): \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-2)}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2 \] Теперь используем уравнение прямой в форме \(y - y_1 = k(x - x_1)\): \[ y + 2 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 6 - 2 \implies y = 2x - 8 \]

5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек A (-2; 3) и B (6; 1).

Координаты точки, принадлежащей оси абсцисс, будут иметь вид (x; 0). Нам нужно решить уравнение равноудаленности: \[ \sqrt{(x + 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + (0 - 1)^2} \] Решим это уравнение. Сначала квадратируем обе стороны: \[ (x + 2)^2 + 9 = (x - 6)^2 + 1 \] Раскрываем скобки: \[ x^2 + 4x + 4 + 9 = x^2 - 12x + 36 + 1 \] Сокращаем: \[ 4x + 13 = -12x + 37 \] \[ 16x = 24 \implies x = 1.5 \] Следовательно, координаты точки: \((1.5; 0)\).

6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой \(y = -3x + 10\) и проходит через центр окружности \(x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0\).

Сначала найдем центр окружности. Приведем уравнение к стандартному виду: \[ (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4 \quad \text{(центр в точке } (-1; 2) \text{, радиус } 2\text{)} \] Теперь у нас есть уклон данной прямой, \(k = -3\). Используем точку \((-1; 2)\) и формулу: \[ y - 2 = -3(x + 1) \] Раскроем скобки: \[ y - 2 = -3x - 3 \implies y = -3x - 1 \]

Теперь все задачи решены. Если у вас есть вопросы по конкретным шагам или вам нужно что-то еще, дайте знать!