X(x-2)²(x+3)³/(x+4)⁴(x-5)<_0

Для решения неравенства \[ \frac{x(x-2)^{2}(x+3)^{3}}{(x+4)^{4}(x-5)} \leq 0 \] первым делом необходимо определить нули числителя и знаменателя, а также учесть, при каких значениях выражение меньше или равно нулю. ### Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя. **1.1. Нули числителя:** Числитель равен нулю, когда одно из множителей равно нулю: - \( x = 0 \) - \( (x-2)^2 = 0 \) → \( x = 2 \) (кратность 2) - \( (x+3)^3 = 0 \) → \( x = -3 \) (кратность 3) Таким образом, нули числителя: \( x = -3, 0, 2 \). **1.2. Нули знаменателя:** Знаменатель равен нулю, когда: - \( (x+4)^4 = 0 \) → \( x = -4 \) (кратность 4) - \( x - 5 = 0 \) → \( x = 5 \) (кратность 1) Таким образом, нули знаменателя: \( x = -4, 5 \). ### Шаг 2: Составим числовую прямую и определим промежутки. Теперь отметим все найденные значения на числовой прямой: - \( -4 \) (знаменатель, запрещено) - \( -3 \) (числитель) - \( 0 \) (числитель) - \( 2 \) (числитель) - \( 5 \) (знаменатель, запрещено) Промежутки, которые нас интересуют: 1. \( (-\infty, -4) \) 2. \( (-4, -3) \) 3. \( (-3, 0) \) 4. \( (0, 2) \) 5. \( (2, 5) \) 6. \( (5, +\infty) \) ### Шаг 3: Проверим знак функции в каждом промежутке. Для проверки знака функции в каждом промежутке возьмем тестовые значения: 1. **\( x \in (-\infty, -4) \):** Пусть \( x = -5 \) \( f(-5) = \frac{-5(-5-2)^2(-5+3)^3}{(-5+4)^4(-5-5)} \) Знак положительный: \( > 0 \). 2. **\( x \in (-4, -3) \):** Пусть \( x = -3.5 \) \( f(-3.5) \) будет отрицательным: \( < 0 \). 3. **\( x \in (-3, 0) \):** Пусть \( x = -1 \) \( f(-1) \) положительное: \( > 0 \). 4. **\( x \in (0, 2) \):** Пусть \( x = 1 \) \( f(1) \) будет отрицательным: \( < 0 \). 5. **\( x \in (2, 5) \):** Пусть \( x = 3 \) \( f(3) \) положительное: \( > 0 \). 6. **\( x \in (5, +\infty) \):** Пусть \( x = 6 \) \( f(6) \) положительное: \( > 0 \). ### Шаг 4: Соберем все данные и решим неравенство. Итак, знаки на промежутках: - (-∞, -4) → \( > 0 \) - (-4, -3) → \( < 0 \) - (-3, 0) → \( > 0 \) - (0, 2) → \( < 0 \) - (2, 5) → \( > 0 \) - (5, +∞) → \( > 0 \) Значения в которых неравенство меньше или равно нулю: - \( (-4, -3) \) - \( [0, 2] \) ### Шаг 5: Итоговый ответ. С учетом исключения точек, где знаменатель равен нулю: \[ x \in (-4, -3) \cup [0, 2] \] Это и есть ответ на неравенство.