Дан ромб. Найди его меньшую диагональ, если известно, что сумма двух его углов равна  240∘ , а его периметр равен  36.

В ромбе все стороны равны, и периметр равен сумме всех сторон. Если обозначить сторону ромба через \( a \), то можно записать: \[ 4a = 36 \implies a = \frac{36}{4} = 9. \] Теперь, зная, что сумма двух углов ромба равна \( 240^\circ \), можно найти остальные два угла. Пусть один из углов равен \( x \), тогда другой угол будет \( 240^\circ - x \). В ромбе противолежащие углы равны, и сумма всех углов равна \( 360^\circ \), поэтому: \[ 2x + 2(240^\circ - x) = 360^\circ \implies 2x + 480^\circ - 2x = 360^\circ \implies 480^\circ = 360^\circ. \] Таким образом, нам важно отметить, что это соотношение указывает на то, что мы можем просто выбрать один угол, скажем, \( 120^\circ \) и другой соответственно будет \( 120^\circ \) (так как мы имеем в сумме \( 240^\circ \)). Теперь, используя свойства ромба и его диагоналей, можно получить их длины. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных треугольника. Обозначим диагонали \( d_1 \) и \( d_2 \). Известно, что длины диагоналей можно найти через стороны и углы: \[ d_1 = a \cdot \sqrt{2(1 - \cos \angle)}, \] \[ d_2 = a \cdot \sqrt{2(1 + \cos \angle)}, \] в данном случае \( \angle = 120^\circ \). Тогда: \[ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}. \] Теперь вычислим \( d_1 \) и \( d_2 \): 1. Для \( d_1 \): \[ d_1 = 9 \cdot \sqrt{2 \left( 1 - (-\frac{1}{2}) \right)} = 9 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{3}{2}} = 9 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}. \] 2. Для \( d_2 \): \[ d_2 = 9 \cdot \sqrt{2 \left( 1 + (-\frac{1}{2}) \right)} = 9 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2}} = 9 \cdot 1 = 9. \] Таким образом, меньшая диагональ \( d_2 = 9 \). Ответ: меньшая диагональ равна \( 9 \) units.