представьте комплексное число -3 в тригонометрической и показательной формах

Давайте представим комплексное число \(-3\) в тригонометрической и показательной формах.

Шаг 1: Определение комплексного числа

Комплексное число можно записать в форме \( z = x + iy \), где:

• \( x \) — действительная часть,
• \( y \) — мнимая часть.

В данном случае, \(-3\) можно представить как: \[ z = -3 + 0i \] где \( x = -3 \) и \( y = 0 \).

Шаг 2: Нахождение модуля комплексного числа

Модуль комплексного числа определяется как: \[ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \] Подставим наши значения: \[ |z| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \]

Шаг 3: Нахождение аргумента (угла)

Аргумент \( \theta \) (угол) комплексного числа можно найти с помощью функции арктангенса, но в данном случае проще определить его по квадранту.

Так как действительная часть отрицательна, а мнимая часть равна нулю, число \(-3\) располагается на отрицательной части действительной оси. Аргумент этого числа: \[ \theta = \pi \quad (\text{или} \; 180^\circ) \]

Шаг 4: Тригонометрическая форма

Теперь мы можем записать комплексное число в тригонометрической форме: \[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \] где \( r = 3 \) и \( \theta = \pi \): \[ z = 3(\cos \pi + i \sin \pi) \]

С учетом значений косинуса и синуса: \[ \cos \pi = -1, \quad \sin \pi = 0 \] Получаем: \[ z = 3(-1 + 0i) = -3 \]

Шаг 5: Показательная форма

Теперь преобразуем в показательную форму с использованием формулы: \[ z = re^{i\theta} \] где \( r = 3 \) и \( \theta = \pi \): \[ z = 3e^{i\pi} \]

Подведение итогов

Таким образом, комплексное число \(-3\) в тригонометрической и показательной формах можно записать как:

• Тригонометрическая форма: \( 3(\cos \pi + i \sin \pi) \)
• Показательная форма: \( 3e^{i\pi} \)

Эти представления подтверждают, что мы корректно отразили свойства комплексного числа \(-3\).