Значение какого из выражения является числом рациональным?

Чтобы определить, значение какого выражения является рациональным числом, нужно рассмотреть каждое из них по отдельности. 1) \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}\) \[ \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{10} \] Число \(\sqrt{10}\) является иррациональным. 2) \(\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}}\) \[ \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{14}{2}} = \sqrt{7} \] Число \(\sqrt{7}\) также является иррациональным. 3) \((\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})\) Здесь используется формула разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\). \[ (\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 = 6 - 5 = 1 \] Число 1 является рациональным. 4) \((\sqrt{2} - \sqrt{7})^2\) Используем формулу квадрата разности: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). \[ (\sqrt{2} - \sqrt{7})^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 \] \[ = 2 - 2\sqrt{14} + 7 \] \[ = 9 - 2\sqrt{14} \] Число \(9 - 2\sqrt{14}\) является иррациональным из-за наличия \(\sqrt{14}\). Таким образом, выражение, значение которого является рациональным числом, — это: 3) \((\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})\), и оно равно 1.