значение какого из выражения является числом рациональным?
Чтобы определить, значение какого выражения является рациональным числом, нужно рассмотреть каждое из них по отдельности.
- \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}\)
\[ \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{10} \]
Число \(\sqrt{10}\) является иррациональным.
- \(\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}}\)
\[ \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{14}{2}} = \sqrt{7} \]
Число \(\sqrt{7}\) также является иррациональным.
- \((\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})\)
Здесь используется формула разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\[ (\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 = 6 - 5 = 1 \]
Число 1 является рациональным.
- \((\sqrt{2} - \sqrt{7})^2\)
Используем формулу квадрата разности: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
\[ (\sqrt{2} - \sqrt{7})^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 \] \[ = 2 - 2\sqrt{14} + 7 \] \[ = 9 - 2\sqrt{14} \]
Число \(9 - 2\sqrt{14}\) является иррациональным из-за наличия \(\sqrt{14}\).
Таким образом, выражение, значение которого является рациональным числом, — это:
- \((\sqrt{6} - \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})\), и оно равно 1.
