решите уравнение. введите количество решений уравнения. укажите сумму найденных решений.
Давайте начнем решать кубическое уравнение:
\[ (x + 2)^2(x - 1) = 10(x + 2) \]
Шаг 1: Найдите общие множители
Заметим, что \(x + 2\) является общим множителем, поэтому начнем с разделения обеих частей на \(x + 2\) (предполагая, что \(x \neq -2\)):
\[ (x + 2)(x + 2)(x - 1) = 10(x + 2) \]
При делении на \(x + 2\):
\[ (x + 2)(x - 1) = 10 \]
Шаг 2: Раскройте скобки
Раскроем скобки в левой части:
\[ x(x - 1) + 2(x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2 \]
Следовательно, уравнение теперь выглядит так:
\[ x^2 + x - 2 = 10 \]
Шаг 3: Перенесите все на одну сторону
\[ x^2 + x - 2 - 10 = 0 \]
\[ x^2 + x - 12 = 0 \]
Шаг 4: Решите квадратное уравнение
Мы решаем это уравнение методом разложения на множители:
\[ x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4) = 0 \]
Таким образом, решения:
\[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]
\[ x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4 \]
Шаг 5: Учитывание условия (x + 2) ≠ 0
Убедимся, что найденные значения удовлетворяют условию \(x \neq -2\). Оба значения, \(x = 3\) и \(x = -4\), удовлетворяют этому условию.
Шаг 6: Подведите итоги
- Количество решений: 2
- Сумма решений: \(3 + (-4) = -1\)
Таким образом, уравнение имеет два решения, и их сумма равна \(-1\).
