решите уравнение. сколько корней имеет уравнение? найдите произведение корней уравнения.
Для решения данного уравнения, которое сводится к квадратному, давайте последовательно выполним следующие шаги:
Дано уравнение: \[ \frac{8y - 5}{y} - \frac{9y}{y+2} = 0 \]
Шаг 1: Найдите общий знаменатель
Общий знаменатель дробей \(y(y+2)\).
Шаг 2: Приведите уравнение к общему знаменателю
Умножим обе составляющие уравнения на общий знаменатель: \[ \frac{(8y - 5) \cdot (y + 2)}{y(y+2)} - \frac{9y \cdot y}{y(y+2)} = 0 \]
Шаг 3: Упростите выражение
Теперь упростим числители:
\((8y - 5)(y + 2) = 8y^2 + 16y - 5y - 10 = 8y^2 + 11y - 10\)
\((9y) \cdot y = 9y^2\)
Подставим в уравнение: \[ \frac{8y^2 + 11y - 10 - 9y^2}{y(y+2)} = 0 \]
Шаг 4: Упростите числитель
\[ 8y^2 + 11y - 10 - 9y^2 = -y^2 + 11y - 10 \]
Теперь уравнение: \[ \frac{-y^2 + 11y - 10}{y(y+2)} = 0 \]
Шаг 5: Рассмотрим числитель
Поскольку дробь равна нулю, рассмотрим числитель: \[ -y^2 + 11y - 10 = 0 \]
Шаг 6: Решите квадратное уравнение
Для решения \(y^2 - 11y + 10 = 0\) используем формулу для корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -11\), \(c = 10\).
\(\Delta = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81\)
Корни: \[ y_1 = \frac{11 + \sqrt{81}}{2} = \frac{11 + 9}{2} = 10 \] \[ y_2 = \frac{11 - \sqrt{81}}{2} = \frac{11 - 9}{2} = 1 \]
Шаг 7: Проверьте допустимость корней
Проверяем, что корни не отменяют знаменатели:
- \(y \neq 0\)
- \(y \neq -2\)
Корни 10 и 1 допустимы.
Шаг 8: Произведение корней
Произведение корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c\) равно \(\frac{c}{a}\): \[ \frac{10}{1} = 10 \]
Ответ
- Уравнение имеет 2 корня: \(y = 10\) и \(y = 1\).
- Произведение корней уравнения: 10.
