Решите уравнение. сколько корней имеет уравнение? найдите произведение корней уравнения.

Для решения данного уравнения, которое сводится к квадратному, давайте последовательно выполним следующие шаги: Дано уравнение: \[ \frac{8y - 5}{y} - \frac{9y}{y+2} = 0 \] ### Шаг 1: Найдите общий знаменатель Общий знаменатель дробей \(y(y+2)\). ### Шаг 2: Приведите уравнение к общему знаменателю Умножим обе составляющие уравнения на общий знаменатель: \[ \frac{(8y - 5) \cdot (y + 2)}{y(y+2)} - \frac{9y \cdot y}{y(y+2)} = 0 \] ### Шаг 3: Упростите выражение Теперь упростим числители: 1. \((8y - 5)(y + 2) = 8y^2 + 16y - 5y - 10 = 8y^2 + 11y - 10\) 2. \((9y) \cdot y = 9y^2\) Подставим в уравнение: \[ \frac{8y^2 + 11y - 10 - 9y^2}{y(y+2)} = 0 \] ### Шаг 4: Упростите числитель \[ 8y^2 + 11y - 10 - 9y^2 = -y^2 + 11y - 10 \] Теперь уравнение: \[ \frac{-y^2 + 11y - 10}{y(y+2)} = 0 \] ### Шаг 5: Рассмотрим числитель Поскольку дробь равна нулю, рассмотрим числитель: \[ -y^2 + 11y - 10 = 0 \] ### Шаг 6: Решите квадратное уравнение Для решения \(y^2 - 11y + 10 = 0\) используем формулу для корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -11\), \(c = 10\). 1. \(\Delta = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81\) 2. Корни: \[ y_1 = \frac{11 + \sqrt{81}}{2} = \frac{11 + 9}{2} = 10 \] \[ y_2 = \frac{11 - \sqrt{81}}{2} = \frac{11 - 9}{2} = 1 \] ### Шаг 7: Проверьте допустимость корней Проверяем, что корни не отменяют знаменатели: - \(y \neq 0\) - \(y \neq -2\) Корни 10 и 1 допустимы. ### Шаг 8: Произведение корней Произведение корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c\) равно \(\frac{c}{a}\): \[ \frac{10}{1} = 10 \] ### Ответ - Уравнение имеет 2 корня: \(y = 10\) и \(y = 1\). - Произведение корней уравнения: 10.